Diketehui vektor a=( -2, p, 2√2) vektor b = [1, 1, √2] Jika vektor a dan vektor b membentuk sudut 60°, tentukan nilai kosinus vektor a dan vektor a + b !

Untuk menjawab pertanyaan ini, kita akan melalui beberapa langkah perhitungan terkait dengan vektor dan trigonometri.

### 1. Menghitung nilai \( p \) menggunakan sudut antara dua vektor

Diketahui vektor \( \mathbf{a} = (-2, p, 2\sqrt{2}) \) dan vektor \( \mathbf{b} = (1, 1, \sqrt{2}) \). Sudut antara kedua vektor adalah \( 60^\circ \).

Sudut antara dua vektor diberikan oleh rumus:
\[
\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}
\]
di mana \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) adalah hasil kali dot (dot product) dan \( |\mathbf{a}| \) serta \( |\mathbf{b}| \) adalah panjang (norma) dari vektor \( \mathbf{a} \) dan \( \mathbf{b} \).

- **Menghitung dot product \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \):**
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-2)(1) + p(1) + (2\sqrt{2})(\sqrt{2}) = -2 + p + 4 = p + 2
\]

- **Menghitung panjang \( |\mathbf{a}| \):**
\[
|\mathbf{a}| = \sqrt{(-2)^2 + p^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + p^2 + 8} = \sqrt{p^2 + 12}
\]

- **Menghitung panjang \( |\mathbf{b}| \):**
\[
|\mathbf{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2
\]

Substitusikan ke dalam rumus \( \cos \theta \):
\[
\cos 60^\circ = \frac{p + 2}{2\sqrt{p^2 + 12}}
\]

Karena \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), maka:
\[
\frac{1}{2} = \frac{p + 2}{2\sqrt{p^2 + 12}}
\]

Sederhanakan:
\[
1 = \frac{p + 2}{\sqrt{p^2 + 12}}
\]

Kemudian, kuadratkan kedua sisi:
\[
1 = \frac{(p + 2)^2}{p^2 + 12}
\]

Sehingga:
\[
p^2 + 12 = (p + 2)^2
\]

Expand dan sederhanakan:
\[
p^2 + 12 = p^2 + 4p + 4
\]

Kurangkan \( p^2 \) dari kedua sisi:
\[
12 = 4p + 4
\]

Sederhanakan:
\[
8 = 4p \quad \Rightarrow \quad p = 2
\]

### 2. Menghitung nilai kosinus dari \( \mathbf{a} \) dan \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \)

Sekarang kita tahu \( p = 2 \), sehingga \( \mathbf{a} = (-2, 2, 2\sqrt{2}) \).

- **Menghitung vektor \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \):**
\[
\mathbf{a} + \mathbf{b} = (-2 + 1, 2 + 1, 2\sqrt{2} + \sqrt{2}) = (-1, 3, 3\sqrt{2})
\]

- **Menghitung panjang \( |\mathbf{a}| \):**
\[
|\mathbf{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 4 + 8} = \sqrt{16} = 4
\]

- **Menghitung panjang \( |\mathbf{a} + \mathbf{b}| \):**
\[
|\mathbf{a} + \mathbf{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 9 + 18} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}
\]

Sehingga, nilai kosinus dari kedua vektor adalah:

1. **Kosinus \( \mathbf{a} \):**
\[
\cos(\mathbf{a}) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}}{|\mathbf{a}|^2} = \frac{16}{16} = 1
\]

2. **Kosinus \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \):**
\[
\cos(\mathbf{a} + \mathbf{b}) = \frac{(-1)(1) + (3)(1) + (3\sqrt{2})(\sqrt{2})}{4 \times 2\sqrt{7}} = \frac{4 + 6}{8\sqrt{7}} = \frac{10}{8\sqrt{7}} = \frac{5}{4\sqrt{7}}
\]

### Jawaban Akhir:
Nilai kosinus dari vektor \( \mathbf{a} \) adalah **1**, dan nilai kosinus dari vektor \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \) adalah **\(\frac{5}{4\sqrt{7}}\)**.

Apakah Anda ingin detail lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain? 

Berikut adalah 5 pertanyaan terkait:
1. Bagaimana cara menghitung produk skalar (dot product) dari dua vektor?
2. Apa itu norma (panjang) dari sebuah vektor, dan bagaimana cara menghitungnya?
3. Bagaimana menentukan sudut antara dua vektor jika diberikan hanya magnitudo dan sudutnya?
4. Bagaimana hubungan antara kosinus dan sudut yang terbentuk antara dua vektor?
5. Bagaimana cara menentukan apakah dua vektor ortogonal (tegak lurus)?

**Tip:** Saat bekerja dengan vektor, penting untuk memahami konsep dasar seperti produk skalar dan norma, karena mereka sering digunakan untuk menghitung sudut dan jarak dalam ruang vektor.

Learn how to calculate cosine values for vectors a and a + b given their components and the angle between them. This problem involves vector analysis, dot products, and trigonometric calculations.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation