um cubo de madeira com todas as faces pintadas é cortado em 216 cubinhos de tamanhos iguais: seja x o número de faces pintadas de um cubinho escolhido aleatoriamente, calcule o desvio padrão de x

Para calcular o desvio padrão do número de faces pintadas \( x \) de um cubinho escolhido aleatoriamente, precisamos primeiro entender a distribuição dos valores possíveis para \( x \).

### Passo 1: Análise da Situação
O cubo original é dividido em \( 216 \) cubinhos menores. Como o cubo é cortado de maneira uniforme, isso significa que o cubo original tinha 6 cubos de lado (porque \( 6^3 = 216 \)).

Cada cubinho pode ter 0, 1, 2 ou 3 faces pintadas, dependendo da sua posição no cubo maior:

1. **Cubinhos com 3 faces pintadas:** São os cubinhos nos vértices do cubo original. Como um cubo tem 8 vértices, há 8 cubinhos com 3 faces pintadas.
2. **Cubinhos com 2 faces pintadas:** São os cubinhos localizados nas arestas do cubo, mas que não estão nos vértices. Cada aresta do cubo tem 4 desses cubinhos, e como o cubo tem 12 arestas, há \( 4 \times 12 = 48 \) cubinhos com 2 faces pintadas.
3. **Cubinhos com 1 face pintada:** São os cubinhos localizados no centro de cada face do cubo. Cada face tem \( 4 \times 4 = 16 \) cubinhos, mas retirando os cubinhos das arestas (já contados), sobram \( 4 \times 4 - 4 \times 2 = 16 - 8 = 8 \) cubinhos com 1 face pintada por face do cubo. Como o cubo tem 6 faces, há \( 8 \times 6 = 96 \) cubinhos com 1 face pintada.
4. **Cubinhos com 0 faces pintadas:** São os cubinhos localizados totalmente no interior do cubo, que não tocam nenhuma face externa. Esse número é dado pelos cubinhos formados no interior de um cubo de lado 4 (descontando as camadas externas), ou seja, \( 4 \times 4 \times 4 = 64 \) cubinhos com 0 faces pintadas.

### Passo 2: Probabilidades associadas a \( x \)
A variável aleatória \( x \) representa o número de faces pintadas de um cubinho escolhido aleatoriamente. Suas possíveis realizações e as respectivas probabilidades são:

- \( P(x = 0) = \frac{64}{216} \)
- \( P(x = 1) = \frac{96}{216} \)
- \( P(x = 2) = \frac{48}{216} \)
- \( P(x = 3) = \frac{8}{216} \)

### Passo 3: Cálculo da Esperança \( E[x] \)
A esperança \( E[x] \) é dada por:
\[
E[x] = 0 \times \frac{64}{216} + 1 \times \frac{96}{216} + 2 \times \frac{48}{216} + 3 \times \frac{8}{216} = 0 + \frac{96}{216} + \frac{96}{216} + \frac{24}{216} = \frac{216}{216} = 1
\]

### Passo 4: Cálculo da Esperança do Quadrado \( E[x^2] \)
Agora, calculamos \( E[x^2] \):
\[
E[x^2] = 0^2 \times \frac{64}{216} + 1^2 \times \frac{96}{216} + 2^2 \times \frac{48}{216} + 3^2 \times \frac{8}{216} = 0 + \frac{96}{216} + \frac{192}{216} + \frac{72}{216} = \frac{360}{216} = \frac{5}{3}
\]

### Passo 5: Variância e Desvio Padrão
A variância \( \text{Var}(x) \) é dada por:
\[
\text{Var}(x) = E[x^2] - (E[x])^2 = \frac{5}{3} - 1^2 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}
\]

O desvio padrão \( \sigma \) é a raiz quadrada da variância:
\[
\sigma = \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0,816
\]

Portanto, o desvio padrão de \( x \) é aproximadamente \( 0,816 \).

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**Você tem dúvidas ou quer mais detalhes?**

**Perguntas Relacionadas:**
1. Como o desvio padrão muda se o cubo fosse dividido em um número diferente de cubinhos?
2. Como calcular o desvio padrão se apenas algumas faces do cubo fossem pintadas?
3. Qual seria a esperança do número de faces pintadas se o cubo tivesse uma dimensão maior, como 7x7x7?
4. Como a distribuição de \( x \) seria diferente se o cubo fosse cortado irregularmente?
5. Como calcular o desvio padrão se a pintura das faces fosse parcial?

**Dica:** Quando cortamos um cubo e analisamos seus cubinhos, a localização deles (vértice, aresta, face, interior) é crucial para determinar suas características, como o número de faces pintadas.

Learn how to calculate the standard deviation of the number of painted faces on 216 equal-sized cubes cut from a painted wooden cube. This problem involves probability and statistics, covering concepts like expected value, variance, and standard deviation.

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