Um cubo de madeira com todas as faces pintadas é cortado em 216 cubinhos de tamanhos iguais. Seja X o número de faces pintadas de um cubinho escolhido aleatoriamente. Calcule σ(X)

Vamos resolver o problema passo a passo para encontrar a variância \( \sigma(X) \).

### Passo 1: Determinar o número de cubinhos com diferentes números de faces pintadas

Um cubo é cortado em 216 cubinhos. Como \( 216 = 6^3 \), isso significa que o cubo original tem dimensão \( 6 \times 6 \times 6 \).

#### (i) Cubinhos com 0 faces pintadas:
Estes cubinhos estão no interior do cubo, ou seja, não fazem parte da superfície. Para que um cubinho não tenha nenhuma face pintada, ele deve estar "escondido" dentro do cubo, ou seja, na parte interna de uma camada (descartando uma camada de cubinhos de todos os lados).

O cubo interno tem dimensão \( 4 \times 4 \times 4 \), e portanto, o número de cubinhos sem nenhuma face pintada é:
\[
4^3 = 64
\]

#### (ii) Cubinhos com 1 face pintada:
Estes cubinhos estão nas faces do cubo, mas não nas arestas. Para calcular, precisamos subtrair as arestas. Cada face do cubo tem uma borda de 1 cubinho ao longo de cada aresta. Isso deixa uma grade \( 4 \times 4 \) no centro de cada face.

Existem 6 faces no cubo, e em cada face, há \( 4 \times 4 = 16 \) cubinhos com exatamente 1 face pintada:
\[
6 \times 16 = 96
\]

#### (iii) Cubinhos com 2 faces pintadas:
Estes cubinhos estão nas arestas, mas não nos vértices. Cada aresta tem 4 cubinhos internos (não contando os cubos dos vértices). O cubo tem 12 arestas, então:
\[
12 \times 4 = 48
\]

#### (iv) Cubinhos com 3 faces pintadas:
Estes cubinhos estão nos 8 vértices do cubo. Cada vértice corresponde a 1 cubinho com 3 faces pintadas:
\[
8 \times 1 = 8
\]

### Passo 2: Distribuição da variável \( X \)
A variável \( X \) representa o número de faces pintadas de um cubinho escolhido aleatoriamente. Assim, temos a distribuição:
- \( P(X = 0) = \frac{64}{216} \)
- \( P(X = 1) = \frac{96}{216} \)
- \( P(X = 2) = \frac{48}{216} \)
- \( P(X = 3) = \frac{8}{216} \)

### Passo 3: Esperança \( \mathbb{E}(X) \)
Calculamos a esperança \( \mathbb{E}(X) \) da seguinte forma:
\[
\mathbb{E}(X) = 0 \times \frac{64}{216} + 1 \times \frac{96}{216} + 2 \times \frac{48}{216} + 3 \times \frac{8}{216} 
\]
\[
\mathbb{E}(X) = 0 + \frac{96}{216} + \frac{96}{216} + \frac{24}{216} = \frac{216}{216} = 1
\]

### Passo 4: Esperança de \( X^2 \), \( \mathbb{E}(X^2) \)
Agora, vamos calcular \( \mathbb{E}(X^2) \):
\[
\mathbb{E}(X^2) = 0^2 \times \frac{64}{216} + 1^2 \times \frac{96}{216} + 2^2 \times \frac{48}{216} + 3^2 \times \frac{8}{216}
\]
\[
\mathbb{E}(X^2) = 0 + \frac{96}{216} + \frac{192}{216} + \frac{72}{216} = \frac{360}{216} = \frac{5}{3}
\]

### Passo 5: Variância \( \sigma^2(X) \)
A variância \( \sigma^2(X) \) é dada por:
\[
\sigma^2(X) = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2
\]
\[
\sigma^2(X) = \frac{5}{3} - 1^2 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}
\]

### Resposta Final
Portanto, a variância \( \sigma(X) \) é:
\[
\sigma(X) = \sqrt{\frac{2}{3}}
\]

Deseja mais detalhes ou tem alguma dúvida?

---

Aqui estão 5 perguntas relacionadas:

1. Como a variância \( \sigma(X) \) muda se o cubo original for maior?
2. Como calcular a média para o número de faces pintadas em cubos de outras dimensões?
3. O que aconteceria com \( \sigma(X) \) se uma camada externa não fosse pintada?
4. Qual é a distribuição da variável \( X \) em um cubo \( n \times n \times n \)?
5. Como o conceito de variância pode ser aplicado a outros problemas geométricos?

**Dica:** A variância mede a dispersão dos valores em relação à média, sendo útil para entender a distribuição de dados em problemas de probabilidade.

Learn how to calculate the variance \( \sigma(X) \) for the number of painted faces on a cube divided into 216 smaller cubes. Understand the distribution of the random variable \( X \) and its relation to the cube's dimensions. Suitable for advanced high school students.

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