A distribuição de Poisson com taxa $\lambda = 2$ defeitos por metro quadrado é usada para calcular a probabilidade de ocorrer um certo número de defeitos em uma chapa de aço.

Queremos encontrar a probabilidade de observar no máximo 4 defeitos, ou seja, $P(X \leq 4)$.

Essa probabilidade é a soma das probabilidades de observar 0, 1, 2, 3 ou 4 defeitos:

$P(X \leq 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)$

A fórmula da probabilidade de Poisson é:

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

Substituindo $\lambda = 2$, temos:

$P(X = 0) = \frac{e^{-2} \cdot 2^0}{0!} = e^{-2}$ $P(X = 1) = \frac{e^{-2} \cdot 2^1}{1!} = 2e^{-2}$ $P(X = 2) = \frac{e^{-2} \cdot 2^2}{2!} = 2e^{-2}$ $P(X = 3) = \frac{e^{-2} \cdot 2^3}{3!} = \frac{4e^{-2}}{3}$ $P(X = 4) = \frac{e^{-2} \cdot 2^4}{4!} = \frac{e^{-2}}{3}$

Somando todas as probabilidades:

$P(X \leq 4) = e^{-2} \left(1 + 2 + 2 + \frac{4}{3} + \frac{1}{3}\right)$ $P(X \leq 4) = e^{-2} \times \frac{10}{3}$

Aproximando $e^{-2}$ pelo seu valor numérico:

$e^{-2} \approx 0,1353$ $P(X \leq 4) \approx 0,1353 \times \frac{10}{3} \approx 0,1353 \times 3,333 \approx 0,8118$

Portanto, a probabilidade de encontrar no máximo 4 defeitos é aproximadamente 0,8571.

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Deseja mais detalhes ou tem alguma dúvida sobre a solução? Aqui estão 5 perguntas relacionadas ao tema:

1. Como calcular a probabilidade de encontrar exatamente 2 defeitos?
2. Como a taxa $\lambda$ influencia a forma da distribuição de Poisson?
3. Qual é o valor esperado (média) para essa distribuição?
4. Se a área fosse maior que 1 m², como calcular a nova probabilidade?
5. Em que outras situações práticas a distribuição de Poisson pode ser aplicada?

Dica: Quando o valor de $\lambda$ aumenta, a distribuição de Poisson tende a se aproximar de uma distribuição normal.