Para resolver esse problema, podemos usar a distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson é apropriada quando estamos lidando com a contagem de eventos que ocorrem de forma independente e a uma taxa constante por unidade de tempo ou espaço.

Dados do problema:

• Taxa média de defeitos por metro quadrado ($\lambda$) = 2.
• Número máximo de defeitos ($k_{\text{máx}}$) = 4.

Fórmula da distribuição de Poisson:

A probabilidade de observar exatamente $k$ eventos em um intervalo de tempo ou espaço dado é dada pela fórmula: $P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$ Onde:

• $\lambda$ é a taxa média de ocorrência de eventos (neste caso, 2 defeitos por metro quadrado).
• $k$ é o número de eventos (defeitos) que queremos calcular a probabilidade.
• $e$ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828).

Probabilidade de no máximo 4 defeitos:

Precisamos calcular a probabilidade de haver 0, 1, 2, 3 ou 4 defeitos e somá-las.

$P(X \leq 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)$

Vamos calcular cada uma:

1. $P(X = 0) = \frac{2^0 \cdot e^{-2}}{0!} = e^{-2}$
2. $P(X = 1) = \frac{2^1 \cdot e^{-2}}{1!} = 2e^{-2}$
3. $P(X = 2) = \frac{2^2 \cdot e^{-2}}{2!} = \frac{4}{2} e^{-2} = 2e^{-2}$
4. $P(X = 3) = \frac{2^3 \cdot e^{-2}}{3!} = \frac{8}{6} e^{-2} = \frac{4}{3} e^{-2}$
5. $P(X = 4) = \frac{2^4 \cdot e^{-2}}{4!} = \frac{16}{24} e^{-2} = \frac{2}{3} e^{-2}$

Somando essas probabilidades:

$P(X \leq 4) = \left(e^{-2}\right) \left(1 + 2 + 2 + \frac{4}{3} + \frac{2}{3}\right) = \left(e^{-2}\right) \cdot \frac{20}{3}$

Como $e^{-2} \approx 0,1353$:

$P(X \leq 4) \approx 0,1353 \times \frac{20}{3} \approx 0,1353 \times 6,6667 \approx 0,901$

Resposta:

Portanto, a probabilidade de encontrar no máximo 4 defeitos é aproximadamente 0,901 ou 90,1%.

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Gostaria de mais detalhes ou tem alguma dúvida?
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Dica: A distribuição de Poisson é frequentemente utilizada para modelar a ocorrência de eventos raros, como defeitos em processos de produção.