A aplicação de fundo anticorrosivo em chapas de aço de 1 m² é feita mecanicamente e pode produzir defeitos (pequenas bolhas na pintura), de acordo com uma variável aleatória Poisson com taxa L = 2 por m2. Uma chapa é escolhida ao acaso. Qual é a probabilidade de encontrar no máximo 4 defeitos. (Responda em numeros decimais)

A variável aleatória \(X\) que representa o número de defeitos segue uma distribuição de Poisson com taxa \( \lambda = 2 \) defeitos por metro quadrado.

A probabilidade de observar no máximo 4 defeitos (\( X \leq 4 \)) é dada pela soma das probabilidades de observar 0, 1, 2, 3 e 4 defeitos:

\[
P(X \leq 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
\]

A fórmula da probabilidade de Poisson é:

\[
P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}
\]

Para cada valor de \( k \) de 0 a 4, substituímos \( \lambda = 2 \):

\[
P(X = 0) = \frac{e^{-2} \cdot 2^0}{0!} = \frac{e^{-2}}{1} = e^{-2} 
\]
\[
P(X = 1) = \frac{e^{-2} \cdot 2^1}{1!} = \frac{2e^{-2}}{1} = 2e^{-2} 
\]
\[
P(X = 2) = \frac{e^{-2} \cdot 2^2}{2!} = \frac{4e^{-2}}{2} = 2e^{-2} 
\]
\[
P(X = 3) = \frac{e^{-2} \cdot 2^3}{3!} = \frac{8e^{-2}}{6} = \frac{4e^{-2}}{3}
\]
\[
P(X = 4) = \frac{e^{-2} \cdot 2^4}{4!} = \frac{16e^{-2}}{24} = \frac{2e^{-2}}{3}
\]

Somando todas as probabilidades:

\[
P(X \leq 4) = e^{-2} \left(1 + 2 + 2 + \frac{4}{3} + \frac{2}{3}\right) = e^{-2} \cdot \left(\frac{12 + 4 + 2}{3}\right) = e^{-2} \cdot \frac{18}{3} = 6e^{-2}
\]

Finalmente, substituímos \( e^{-2} \) pelo seu valor aproximado:

\[
e^{-2} \approx 0.1353
\]
\[
P(X \leq 4) \approx 6 \times 0.1353 = 0.8118
\]

A probabilidade de encontrar no máximo 4 defeitos é aproximadamente **0,8118**.

---

Deseja mais detalhes ou tem alguma dúvida sobre a solução? Aqui estão 5 perguntas relacionadas ao tema:

1. Como a distribuição de Poisson é aplicada em outros cenários industriais?
2. Qual seria a probabilidade de encontrar exatamente 3 defeitos na chapa?
3. Como se calcula a esperança matemática (valor esperado) em uma distribuição de Poisson?
4. Qual a diferença entre a distribuição de Poisson e a distribuição binomial?
5. Como a taxa \( \lambda \) afeta a forma da distribuição de Poisson?

**Dica:** A distribuição de Poisson é útil para modelar o número de eventos em intervalos fixos de tempo ou espaço quando esses eventos ocorrem de forma independente.

Calculate the probability of finding at most 4 defects on a randomly chosen steel sheet undergoing anticorrosive coating, modeled by a Poisson distribution with a rate parameter λ = 2 defects per square meter. Learn how to apply the Poisson probability formula step-by-step.

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