Um júri popular é composto por 7 jurados. A probabilidade de cada um dos juraria de tomar a decisão certa é de 69%. Calcule a probabilidade de que o júri tome a decisão certa por maioria de votos.

Para resolver esse problema, precisamos calcular a probabilidade de que a maioria dos jurados (ou seja, pelo menos 4 dos 7 jurados) tome a decisão correta, dado que a probabilidade de um jurado tomar a decisão correta é de 69% (ou 0,69).

### Passos para a Solução

1. **Definição dos parâmetros:**
   - Número de jurados, \( n = 7 \).
   - Probabilidade de um jurado tomar a decisão correta, \( p = 0.69 \).

2. **Regra da maioria:**
   - Para o júri tomar a decisão correta, pelo menos 4 dos 7 jurados devem tomar a decisão correta.

3. **Distribuição Binomial:**
   - A probabilidade de exatamente \( k \) jurados tomarem a decisão correta segue uma distribuição binomial:
     \[
     P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
     \]
   - A probabilidade acumulada de que o júri tome a decisão correta é a soma das probabilidades de \( k = 4 \) até \( k = 7 \).

### Cálculo

Usamos a fórmula da distribuição binomial para calcular as probabilidades de \( X = 4, 5, 6 \) e \( 7 \).

\[
P(X = k) = \binom{7}{k} (0.69)^k (0.31)^{7-k}
\]

#### Cálculos individuais

\[
\binom{7}{4} = \frac{7!}{4!(7-4)!} = 35
\]
\[
\binom{7}{5} = \frac{7!}{5!(7-5)!} = 21
\]
\[
\binom{7}{6} = \frac{7!}{6!(7-6)!} = 7
\]
\[
\binom{7}{7} = \frac{7!}{7!(7-7)!} = 1
\]

Calculando cada probabilidade:

\[
P(X = 4) = 35 \cdot (0.69)^4 \cdot (0.31)^3
\]
\[
P(X = 5) = 21 \cdot (0.69)^5 \cdot (0.31)^2
\]
\[
P(X = 6) = 7 \cdot (0.69)^6 \cdot (0.31)^1
\]
\[
P(X = 7) = 1 \cdot (0.69)^7 \cdot (0.31)^0
\]

Agora, vamos calcular cada termo:

\[
P(X = 4) \approx 35 \cdot (0.69)^4 \cdot (0.31)^3 \approx 0.2605
\]
\[
P(X = 5) \approx 21 \cdot (0.69)^5 \cdot (0.31)^2 \approx 0.3395
\]
\[
P(X = 6) \approx 7 \cdot (0.69)^6 \cdot (0.31) \approx 0.2285
\]
\[
P(X = 7) \approx 1 \cdot (0.69)^7 \cdot (0.31)^0 \approx 0.0849
\]

Somando essas probabilidades:

\[
P(X \geq 4) = 0.2605 + 0.3395 + 0.2285 + 0.0849 = 0.9134
\]

Portanto, a probabilidade de que o júri tome a decisão correta por maioria de votos é aproximadamente 0.9134, ou 91.34%.

Isso se aproxima de uma das opções dadas:

- 0.86063
- 0.666988
- 0.456234
- 0.791773

A resposta mais próxima entre as opções fornecidas é 0.86063, mas a solução calculada é 0.9134.

**Gostaria de mais detalhes sobre esse cálculo ou tem alguma outra pergunta?**

### Questões relacionadas:

1. Como calcular o coeficiente binomial?
2. Qual é a importância da distribuição binomial na teoria das probabilidades?
3. Como calcular a probabilidade de sucesso em múltiplas tentativas?
4. Quais são as propriedades das distribuições binomiais?
5. Como a mudança no número de tentativas afeta a probabilidade?
6. Qual é o efeito da variação da probabilidade de sucesso no resultado?
7. Como interpretar probabilidades acumuladas?
8. Quais outras distribuições estatísticas são similares à distribuição binomial?

**Dica:** Quando estiver resolvendo problemas de probabilidade complexos, divida-os em passos menores e verifique os resultados intermediários para evitar erros.

Learn how to calculate the probability of a jury making a majority decision using the binomial distribution. This problem involves determining the likelihood of at least 4 out of 7 jurors making the correct decision with a given probability of 69% for each juror. Explore step-by-step calculations and understand the principles of binomial probability. Suitable for graduate-level studies.

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