Um júri popular é composto por 7 jurados. A probabilidade de cada um dos jurados tomar a decisão certa é 69%. Calcule a probabilidade de que o júri tome a decisão certa por maioria de votos.

Para calcular a probabilidade de que o júri composto por 7 jurados tome a decisão certa por maioria de votos, vamos usar a distribuição binomial.

Primeiro, definimos a variável \(X\) como o número de jurados que tomam a decisão certa. \(X\) segue uma distribuição binomial com os parâmetros \(n = 7\) (número de tentativas ou jurados) e \(p = 0.69\) (probabilidade de sucesso, ou seja, de um jurado tomar a decisão certa).

A probabilidade de exatamente \(k\) jurados tomarem a decisão certa é dada por:

\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
\]

Para que a decisão do júri seja correta por maioria de votos, precisamos que pelo menos 4 jurados tomem a decisão certa (já que \(4 \leq k \leq 7\)).

Portanto, precisamos calcular \(P(X \geq 4)\), que é a soma das probabilidades de \(X\) ser 4, 5, 6 ou 7:

\[
P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7)
\]

Calculamos cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da distribuição binomial.

Primeiro, calculamos os coeficientes binomiais:

\[
\binom{7}{4} = \frac{7!}{4!(7-4)!} = 35
\]
\[
\binom{7}{5} = \frac{7!}{5!(7-5)!} = 21
\]
\[
\binom{7}{6} = \frac{7!}{6!(7-6)!} = 7
\]
\[
\binom{7}{7} = \frac{7!}{7!(7-7)!} = 1
\]

Agora calculamos cada uma das probabilidades:

\[
P(X = 4) = \binom{7}{4} (0.69)^4 (0.31)^3 = 35 \times 0.69^4 \times 0.31^3
\]
\[
P(X = 5) = \binom{7}{5} (0.69)^5 (0.31)^2 = 21 \times 0.69^5 \times 0.31^2
\]
\[
P(X = 6) = \binom{7}{6} (0.69)^6 (0.31)^1 = 7 \times 0.69^6 \times 0.31
\]
\[
P(X = 7) = \binom{7}{7} (0.69)^7 (0.31)^0 = 0.69^7
\]

Somando todas essas probabilidades, temos:

\[
P(X \geq 4) = 35 \times (0.69)^4 \times (0.31)^3 + 21 \times (0.69)^5 \times (0.31)^2 + 7 \times (0.69)^6 \times (0.31) + (0.69)^7
\]

Vamos calcular isso:

\[
P(X = 4) = 35 \times 0.227 \times 0.0298 \approx 0.236
\]
\[
P(X = 5) = 21 \times 0.157 \times 0.0961 \approx 0.317
\]
\[
P(X = 6) = 7 \times 0.108 \times 0.31 \approx 0.234
\]
\[
P(X = 7) = 0.057 \approx 0.057
\]

Finalmente, somamos as probabilidades:

\[
P(X \geq 4) \approx 0.236 + 0.317 + 0.234 + 0.057 = 0.844
\]

Portanto, a probabilidade de que o júri tome a decisão certa por maioria de votos é aproximadamente 84.4%.

Deseja mais detalhes ou tem alguma pergunta sobre a solução?

1. O que é a distribuição binomial?
2. Como se calcula o coeficiente binomial?
3. Qual a importância da maioria de votos em um júri?
4. Como a probabilidade de sucesso individual afeta a probabilidade total?
5. O que é um evento binomial independente?
6. Como interpretar a probabilidade final encontrada?
7. Exemplos práticos de uso da distribuição binomial.
8. Quais são as limitações da distribuição binomial?

**Dica**: A distribuição binomial é útil em situações onde há um número fixo de tentativas, duas saídas possíveis para cada tentativa, e cada tentativa é independente das outras.

Learn how to calculate the probability of a jury making a majority decision correctly among 7 jurors, each with a 69% probability of making the correct decision. This problem involves using the binomial distribution formula and is suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation