Tarkastellaan tehtävää:

1. Määritetään tason $T$ yhtälö kolmen pisteen $A$, $B$, ja $C$ avulla.

   • Pisteet on annettu seuraavasti:
     • $A = (2r, 0, 0)$
     • $B = (0, 5r, 0)$
     • $C = (0, 0, 3r)$

2. Lasketaan vektorisuunnat $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ ja $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$:

   • Vektori $\vec{u} = B - A = (0, 5r, 0) - (2r, 0, 0) = (-2r, 5r, 0)$
   • Vektori $\vec{v} = C - A = (0, 0, 3r) - (2r, 0, 0) = (-2r, 0, 3r)$

3. Lasketaan tason normaalivektori ottamalla ristiin tulo $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$:

   • $\vec{n} = (-2r, 5r, 0) \times (-2r, 0, 3r)$
   • Tämä lasketaan kaavalla: $\vec{n} = \left| \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2r & 5r & 0 \\ -2r & 0 & 3r \end{array} \right|$ $= \hat{i}(5r \cdot 3r - 0) - \hat{j}(-2r \cdot 3r - 0) + \hat{k}(-2r \cdot 0 - (-2r \cdot 5r))$ $= \hat{i}(15r^2) + \hat{j}(6r^2) + \hat{k}(10r^2)$ $= (15r^2, 6r^2, 10r^2)$

4. Tason yhtälö saadaan sijoittamalla normaalivektori $\vec{n} = (15r^2, 6r^2, 10r^2)$ ja piste $A = (2r, 0, 0)$ tason yhtälöön: $15r^2(x - 2r) + 6r^2(y - 0) + 10r^2(z - 0) = 0$ Tämä sievennetään, jolloin saadaan: $15r^2x + 6r^2y + 10r^2z = 30r^3$ $\Rightarrow 15x + 6y + 10z = 30$ Joten tason yhtälö on: $T: 15x + 6y + 10z = 30$

5. Lasketaan keskipisteen etäisyys $d$ tasosta $T$:

   • Keskipisteen koordinaatit ovat $\left(\frac{2r + 0 + 0}{3}, \frac{0 + 5r + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 3r}{3}\right) = \left(\frac{2r}{3}, \frac{5r}{3}, r\right)$.
   • Käytetään etäisyyden kaavaa pisteen ja tason välillä: $d = \frac{|15 \cdot \frac{2r}{3} + 6 \cdot \frac{5r}{3} + 10 \cdot r - 30|}{\sqrt{15^2 + 6^2 + 10^2}}$ Ratkaisemalla tämä saamme $d$.

Jatkan laskemalla tarkat arvot.