アイテムＸが1つ獲得できた時点でガチャをやめる。n回目までにアイテムを獲得できる確率が80%を超える。このような自然数nのうち最小の物をもとめよ。答えは161回です。

アイテムXが1つ獲得できた時点でガチャをやめる場合、問題は「n回目までにアイテムを獲得できる確率が80％を超えるときの最小の自然数n」を求めるものです。答えが161回と分かっていることから、これを確認しつつ、条件に合うように進めてみましょう。

まず、アイテムが1回のガチャで獲得できる確率を \( p \) とし、アイテムを獲得できない確率を \( 1-p \) とします。

n回目までにアイテムを獲得できる確率は、次の式で表されます：
\[
P(n) = 1 - (1-p)^n
\]

これが80％、つまり0.8を超えるためには、
\[
1 - (1-p)^n > 0.8
\]
つまり、
\[
(1-p)^n < 0.2
\]
となります。

次に、答えが161回であるという情報から、具体的に \( p \) を逆算します。

\[
(1-p)^{161} = 0.2
\]
両辺の対数を取ると、
\[
161 \log(1-p) = \log(0.2)
\]
\[
\log(1-p) = \frac{\log(0.2)}{161}
\]
\[
1-p = 10^{\frac{\log(0.2)}{161}}
\]

\(\log(0.2)\)を計算すると、約 \(-0.69897\) なので、
\[
1-p = 10^{\frac{-0.69897}{161}} \approx 10^{-0.00434}
\]

これを計算すると、
\[
1-p \approx 0.99002
\]
したがって、
\[
p \approx 0.00998
\]
つまり、アイテムXが1回のガチャで獲得できる確率 \( p \) は約0.01（1％）となります。

この結果から、アイテムXの獲得確率が約1％の場合、161回のガチャでアイテムを獲得できる確率が80％を超えることが分かります。

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### 関連する質問
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2. ガチャを複数回回す戦略について、確率的に最適な戦略はどのように決定されますか？
3. 確率が異なるアイテムを複数種類集める場合、各アイテムの必要回数はどう計算されますか？
4. このガチャシステムにおける他の戦略を評価するための指標はどのように設定できますか？
5. 確率的に難しい状況下でアイテムを効率よく集める方法にはどのようなものがありますか？

### ヒント
ガチャの確率が小さいほど、必要な回数は指数的に増加することを意識することが重要です。

Learn how to calculate the minimum number of attempts required in a gacha system to achieve an 80% probability of obtaining a specific item after it is first obtained. This problem involves probability calculations, exponential functions, and logarithms. Suitable for high school students.

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