\( \ln(x) \) 的积分可以通过分部积分法来计算。我们记住分部积分公式：

\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]

在这个公式中，我们选择 \( u = \ln(x) \) 和 \( dv = dx \)。因此，我们需要计算 \( du \) 和 \( v \):

\[
u = \ln(x) \implies du = \frac{1}{x} \, dx
\]

\[
dv = dx \implies v = x
\]

将这些代入分部积分公式，我们得到：

\[
\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx
\]

简化后：

\[
\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - \int 1 \, dx
\]

\[
\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - x + C
\]

其中 \( C \) 是积分常数。因此，\( \ln(x) \) 的不定积分为：

\[
\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - x + C
\]

是否需要详细步骤或有其他问题？

以下是一些相关的问题：

1. 如何使用分部积分法计算更复杂的积分？
2. \( \int e^x \ln(x) \, dx \) 的积分如何计算？
3. 为什么选择 \( u = \ln(x) \) 和 \( dv = dx \) 更方便？
4. 分部积分法的几何解释是什么？
5. 如何验证 \( \int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - x + C \) 的正确性？
6. 什么是积分常数 \( C \) ？为什么它很重要？
7. 在计算积分时，有哪些常见的错误需要注意？
8. 分部积分法可以应用于哪些类型的函数？

**小提示**: 在进行分部积分时，选择 \( u \) 和 \( dv \) 时要尽量选择能简化积分计算的函数。

Learn how to calculate the integral of ln(x) using integration by parts step-by-step. This problem involves integral calculus and the application of the integration by parts formula. Suitable for advanced mathematics students and enthusiasts.

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