Реши это с помощью Аналитической геометрии и объясни решение чётко.

Решим задачу с помощью **аналитической геометрии**, внимательно поясняя каждый шаг.

### Условие:
Даны точки:
- \( M_0(1; 2; -5) \)
- \( M_1(3; 6; 1) \)
- \( M_2(0; 4; 2) \)
- \( M_3(-1; 3; 4) \)

**Требуется:**
1. Найти уравнение плоскости \( P \), проходящей через точки \( M_1 \), \( M_2 \), \( M_3 \).
2. Найти расстояние \( d \) от точки \( M_0 \) до плоскости \( P \).
3. Написать уравнение плоскости \( P_1 \), проходящей через точку \( M_0 \) и параллельной плоскости \( P \).

---

### **1. Уравнение плоскости \( P \) через точки \( M_1(3; 6; 1) \), \( M_2(0; 4; 2) \), \( M_3(-1; 3; 4) \)**

#### Шаг 1: Найдем нормальный вектор плоскости

Чтобы найти уравнение плоскости через три точки, сначала нужно найти **нормальный вектор** \( \mathbf{n} = (A, B, C) \) к плоскости. Для этого строим два вектора, используя координаты данных точек:

1. Вектор \( \overrightarrow{M_1 M_2} \):
\[
\overrightarrow{M_1 M_2} = M_2 - M_1 = (0 - 3; 4 - 6; 2 - 1) = (-3; -2; 1)
\]

2. Вектор \( \overrightarrow{M_1 M_3} \):
\[
\overrightarrow{M_1 M_3} = M_3 - M_1 = (-1 - 3; 3 - 6; 4 - 1) = (-4; -3; 3)
\]

Теперь находим **векторное произведение** \( \overrightarrow{M_1 M_2} \times \overrightarrow{M_1 M_3} \), чтобы получить нормальный вектор плоскости:
\[
\mathbf{n} = \overrightarrow{M_1 M_2} \times \overrightarrow{M_1 M_3} = 
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
-3 & -2 & 1 \\
-4 & -3 & 3
\end{vmatrix}
\]

Разложим определитель:
\[
\mathbf{n} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -3 & 3 \end{vmatrix}
- \mathbf{j} \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -4 & 3 \end{vmatrix}
+ \mathbf{k} \begin{vmatrix} -3 & -2 \\ -4 & -3 \end{vmatrix}
\]
\[
\mathbf{n} = \mathbf{i}((-2)(3) - 1(-3)) - \mathbf{j}((-3)(3) - 1(-4)) + \mathbf{k}((-3)(-3) - (-4)(-2))
\]
\[
\mathbf{n} = \mathbf{i}(-6 + 3) - \mathbf{j}(-9 + 4) + \mathbf{k}(9 - 8)
\]
\[
\mathbf{n} = -3\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 1\mathbf{k}
\]

Таким образом, **нормальный вектор плоскости**: \( \mathbf{n} = (-3; 5; 1) \).

#### Шаг 2: Уравнение плоскости \( P \)

Теперь, зная нормальный вектор \( (-3; 5; 1) \), подставим его в общее уравнение плоскости:
\[
Ax + By + Cz + D = 0
\]
где \( A = -3 \), \( B = 5 \), \( C = 1 \).

Подставляем координаты любой из данных точек для нахождения \( D \). Возьмём, например, точку \( M_1(3; 6; 1) \):
\[
-3(3) + 5(6) + 1(1) + D = 0
\]
\[
-9 + 30 + 1 + D = 0
\]
\[
22 + D = 0
\]
\[
D = -22
\]

Таким образом, уравнение плоскости \( P \):
\[
-3x + 5y + z - 22 = 0
\]
или
\[
3x - 5

Solve an analytical geometry problem involving the equation of a plane passing through three points and finding the distance from a point to the plane. Learn how to use the vector cross product and apply distance formulas. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation