Triangeln △ABC△ABC är rätvinklig med rät vinkel vid hörnet CC och vinkel αα vid hörnet AA. Beräkna triangelns area, givet att c=|AB|=11c=|AB|=11, och att tanα=12tan⁡α=12.
 

För att beräkna triangelns area behöver vi använda de givna informationerna: att triangeln är rätvinklig med rät vinkel vid \( C \), att hypotenusan \( c = |AB| = 11 \), och att \(\tan \alpha = 12\).

### Steg 1: Bestäm sidorna \( a = |BC| \) och \( b = |AC| \)
Vi vet att:
\[
\tan \alpha = \frac{\text{motstående katet}}{\text{närliggande katet}} = \frac{a}{b} = 12
\]

Det innebär att \( a = 12b \).

### Steg 2: Använd Pythagoras sats
Enligt Pythagoras sats gäller:
\[
a^2 + b^2 = c^2
\]

Eftersom \( a = 12b \) och \( c = 11 \), kan vi sätta in dessa i ekvationen:
\[
(12b)^2 + b^2 = 11^2
\]

Förenkla:
\[
144b^2 + b^2 = 121
\]
\[
145b^2 = 121
\]

Dela båda sidor med 145:
\[
b^2 = \frac{121}{145}
\]
\[
b = \sqrt{\frac{121}{145}} = \frac{11}{\sqrt{145}}
\]

### Steg 3: Beräkna sidan \( a \)
Eftersom \( a = 12b \):
\[
a = 12 \times \frac{11}{\sqrt{145}} = \frac{132}{\sqrt{145}}
\]

### Steg 4: Beräkna triangelns area
Triangelns area är given av:
\[
\text{Area} = \frac{1}{2} \times a \times b
\]

Sätt in värdena för \( a \) och \( b \):
\[
\text{Area} = \frac{1}{2} \times \frac{132}{\sqrt{145}} \times \frac{11}{\sqrt{145}} = \frac{1}{2} \times \frac{132 \times 11}{145} = \frac{1452}{290} = 5
\]

Så triangelns area är \(\boxed{5}\).

### Vill du ha fler detaljer eller har du några frågor?

### Relaterade frågor:
1. Hur påverkas triangelns area om vinkeln \(\alpha\) ändras?
2. Hur kan vi bestämma triangelns höjd med hjälp av vinkeln \(\alpha\)?
3. Kan vi använda sinus för att bestämma en annan sida i triangeln?
4. Vad är sambandet mellan hypotenusan och vinkeln \(\alpha\)?
5. Kan vi beräkna omkretsen av triangeln med de givna uppgifterna?
6. Hur kan vi använda trigonometri för att bestämma andra vinklar i triangeln?
7. Vad händer om vi ändrar hypotenusans längd? Hur påverkas area och sidor?
8. Hur kan vi använda trigonometriska identiteter för att verifiera lösningen?

### Tips:
Kom ihåg att alltid dubbelkolla dina beräkningar, särskilt när du använder trigonometriska identiteter.

Learn how to calculate the area of right triangle ABC with given side AB = 11 and tangent alpha = 1/2. Follow a detailed step-by-step solution using trigonometry and the Pythagorean theorem. Suitable for high school students studying trigonometry.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation