Alla temperatura T0 = 0 °C e alla pressione p0 = 1,0 ∙105 Pa una certa quantità di idrogeno (gas biatomico, ideale) occupa un volume V0 =1,5 dm3. Ad un certo istante il gas viene messo a contatto con una sorgente di calore ad una certa temperatura. Se si aspetta un tempo sufficientemente lungo, il volume del gas raddoppia mentre la pressione rimane eguale. Determinare la temperatura finale del gas e la variazione di energia interna del gas.  

Per risolvere questo problema utilizzeremo l'equazione di stato dei gas ideali e le relazioni che descrivono la variazione di energia interna per un gas biatomico ideale.

### Dati del problema:
- Pressione iniziale e finale: \( p_0 = 1,0 \cdot 10^5 \, \text{Pa} \)
- Temperatura iniziale: \( T_0 = 0 \, \text{°C} = 273 \, \text{K} \)
- Volume iniziale: \( V_0 = 1,5 \, \text{dm}^3 = 1,5 \cdot 10^{-3} \, \text{m}^3 \)
- Volume finale: \( V_f = 2 \cdot V_0 = 3,0 \cdot 10^{-3} \, \text{m}^3 \)
- Il gas è biatomico, quindi il calore specifico molare a volume costante è \( C_V = \frac{5}{2} R \).

### Determinazione della temperatura finale:
Dal momento che la pressione rimane costante durante l'espansione, possiamo utilizzare la legge di Charles (o legge di Gay-Lussac) per il gas ideale, che afferma che per una trasformazione isobara (a pressione costante), il rapporto tra temperatura e volume è costante:

\[
\frac{V_f}{V_0} = \frac{T_f}{T_0}
\]

da cui possiamo ricavare la temperatura finale \( T_f \):

\[
T_f = T_0 \cdot \frac{V_f}{V_0} = 273 \, \text{K} \cdot \frac{3,0 \cdot 10^{-3} \, \text{m}^3}{1,5 \cdot 10^{-3} \, \text{m}^3} = 273 \, \text{K} \cdot 2 = 546 \, \text{K}
\]

Quindi, la temperatura finale del gas è \( T_f = 546 \, \text{K} \).

### Variazione di energia interna:
Per un gas biatomico ideale, la variazione di energia interna \( \Delta U \) dipende solo dalla variazione di temperatura. La variazione di energia interna per una mole di gas biatomico è data dalla formula:

\[
\Delta U = n C_V \Delta T
\]

dove:
- \( n \) è il numero di moli,
- \( C_V = \frac{5}{2} R \) è il calore specifico molare a volume costante,
- \( \Delta T = T_f - T_0 \) è la variazione di temperatura.

Prima dobbiamo calcolare il numero di moli \( n \) usando l'equazione di stato dei gas ideali:

\[
p_0 V_0 = n R T_0
\]

da cui:

\[
n = \frac{p_0 V_0}{R T_0}
\]

Sostituendo i valori:

\[
n = \frac{(1,0 \cdot 10^5 \, \text{Pa}) (1,5 \cdot 10^{-3} \, \text{m}^3)}{(8,314 \, \text{J/mol·K}) (273 \, \text{K})}
\]

Calcoliamo \( n \) e poi utilizziamo questa informazione per determinare \( \Delta U \).Il numero di moli di idrogeno è \( n = 0.0661 \, \text{mol} \).

Ora possiamo calcolare la variazione di energia interna \( \Delta U \) utilizzando la formula:

\[
\Delta U = n C_V \Delta T
\]

dove:
- \( C_V = \frac{5}{2} R = \frac{5}{2} \cdot 8.314 \, \text{J/mol·K} \),
- \( \Delta T = T_f - T_0 = 546 \, \text{K} - 273 \, \text{K} = 273 \, \text{K} \).

Calcoliamo \( \Delta U \).La variazione di energia interna del gas è \( \Delta U = 375 \, \text{J} \).

### Risultati finali:
- La temperatura finale del gas è \( T_f = 546 \, \text{K} \).
- La variazione di energia interna del gas è \( \Delta U = 375 \, \text{J} \).

Hai bisogno di ulteriori chiarimenti o dettagli?

Ecco 5 domande relative per approfondire:
1. Come cambierebbe la temperatura finale se il gas fosse monoatomico?
2. Qual è l'effetto della variazione di pressione sulla variazione di energia interna in un gas ideale?
3. Come si calcola il lavoro fatto dal gas durante un'espansione isobara?
4. Quali differenze ci sono tra gas biatomici e monoatomici in termini di energia interna?
5. Come si potrebbe calcolare il calore scambiato durante questo processo?

**Tip**: Nei gas ideali, la variazione di energia interna dipende solo dalla temperatura, indipendentemente dalle variazioni di volume o pressione.

Alla temperatura T0 = 0 °C e alla pressione p0 = 1,0 ∙105 Pa una certa quantità di idrogeno (gas biatomico, ideale) occupa un volume V0 =1,5 dm3. Ad un certo istante il gas viene messo a contatto con una sorgente di calore ad una certa temperatura. Se si aspetta un tempo sufficientemente lungo, il volume del gas raddoppia mentre la pressione rimane eguale. Determinare la temperatura finale del gas e la variazione di energia interna del gas.

Scopri come determinare la temperatura finale e la variazione di energia interna per un gas biatomico ideale in espansione isobara. La pressione rimane costante mentre il volume raddoppia. Problema risolto utilizzando la legge dei gas ideali e le proprietà termodinamiche dei gas biatomici. Adatto a studenti delle superiori.

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