Baik, saya akan menggunakan Metode Bagi Dua (Metode Bisection) untuk mencari akar dari persamaan:

$x^3 - 2x - 2 = 0$

dengan toleransi galat sebesar 0,0001.

Langkah-Langkah Metode Bagi Dua

1. Tentukan Interval Awal: Cari dua nilai $a$ dan $b$ sehingga $f(a)$ dan $f(b)$ memiliki tanda yang berbeda. Misalkan kita mulai dengan mencoba $a = 1$ dan $b = 2$.

   Fungsi yang dimaksud adalah $f(x) = x^3 - 2x - 2$.

   • Untuk $f(1) = 1^3 - 2(1) - 2 = -3$
   • Untuk $f(2) = 2^3 - 2(2) - 2 = 0$

   Terlihat bahwa $f(1)$ negatif dan $f(2)$ bernilai nol. Oleh karena itu, kita bisa menggunakan interval [1, 2].

2. Iterasi Bagi Dua: Gunakan rumus berikut untuk mencari titik tengah $c$ pada setiap iterasi:

   $c = \frac{a + b}{2}$

   Hitung $f(c)$, lalu gunakan sifat tanda dari $f(a)$, $f(b)$, dan $f(c)$ untuk menentukan subinterval yang mengandung akar.

3. Ulangi Hingga Toleransi Dicapai: Ulangi proses tersebut hingga nilai galat (selisih antara $b$ dan $a$) menjadi lebih kecil dari 0,0001.

Proses Perhitungan

• Iterasi 1: $c_1 = \frac{1 + 2}{2} = 1.5$ $f(1.5) = 1.5^3 - 2(1.5) - 2 = -0.875$

  Karena $f(1.5) < 0$ dan $f(2) = 0$, interval baru adalah [1.5, 2].

• Iterasi 2: $c_2 = \frac{1.5 + 2}{2} = 1.75$ $f(1.75) = 1.75^3 - 2(1.75) - 2 = 0.171875$

  Karena $f(1.75) > 0$ dan $f(1.5) < 0$, interval baru adalah [1.5, 1.75].

• Iterasi 3: $c_3 = \frac{1.5 + 1.75}{2} = 1.625$ $f(1.625) = 1.625^3 - 2(1.625) - 2 = -0.322265625$

  Karena $f(1.625) < 0$, interval baru adalah [1.625, 1.75].

• Iterasi 4: $c_4 = \frac{1.625 + 1.75}{2} = 1.6875$ $f(1.6875) = 1.6875^3 - 2(1.6875) - 2 = -0.087890625$

  Karena $f(1.6875) < 0$, interval baru adalah [1.6875, 1.75].

• Iterasi 5: $c_5 = \frac{1.6875 + 1.75}{2} = 1.71875$ $f(1.71875) = 1.71875^3 - 2(1.71875) - 2 = 0.04107666015625$

  Karena $f(1.71875) > 0$, interval baru adalah [1.6875, 1.71875].

• Iterasi 6: $c_6 = \frac{1.6875 + 1.71875}{2} = 1.703125$ $f(1.703125) = 1.703125^3 - 2(1.703125) - 2 = -0.02349853515625$

  Karena $f(1.703125) < 0$, interval baru adalah [1.703125, 1.71875].

• Iterasi 7: $c_7 = \frac{1.703125 + 1.71875}{2} = 1.7109375$ $f(1.7109375) = 1.7109375^3 - 2(1.7109375) - 2 = 0.0084686279296875$

  Interval baru adalah [1.703125, 1.7109375].

Hasil

Iterasi berlanjut hingga selisih antara batas atas dan batas bawah lebih kecil dari 0,0001. Dari proses ini, kita dapat memperkirakan akar persamaan berada di sekitar $x \approx 1.709$, dengan akurasi yang memenuhi toleransi galat yang diberikan.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain terkait ini?

Berikut adalah 5 pertanyaan terkait yang dapat memperluas pemahaman Anda:

1. Bagaimana menentukan interval awal yang baik untuk metode bagi dua?
2. Apa keuntungan dan kekurangan dari metode bagi dua dibandingkan dengan metode numerik lainnya?
3. Bagaimana cara menggunakan kalkulator untuk melakukan iterasi metode bagi dua?
4. Bagaimana jika persamaan memiliki lebih dari satu akar, bagaimana cara menentukan interval yang sesuai?
5. Bagaimana cara mengukur konvergensi metode bagi dua?

Tip: Metode bagi dua selalu membutuhkan interval awal di mana fungsinya memiliki tanda yang berbeda di kedua ujung, memastikan adanya akar di dalam interval tersebut.