Давайте виконаємо необхідні операції з поліномами $P_m = x^5 + x^4 + x^2 + x + 1$ і $P_n = x^3 + x + 1$, які представляють двійкові числа. Спочатку виконаємо додавання, віднімання, множення та ділення цих поліномів. Потім перевіримо результати, перетворивши їх на десяткові числа.

1. Додавання поліномів:

$P_m + P_n = (x^5 + x^4 + x^2 + x + 1) + (x^3 + x + 1)$ Зведемо подібні члени: $P_m + P_n = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + 2x + 2$

У двійковій системі $2x = 0$ і $2 = 0$, тому: $P_m + P_n = x^5 + x^4 + x^3 + x^2$

2. Віднімання поліномів:

$P_m - P_n = (x^5 + x^4 + x^2 + x + 1) - (x^3 + x + 1)$ Зведемо подібні члени: $P_m - P_n = x^5 + x^4 - x^3 + x^2 + 0x + 0$ $P_m - P_n = x^5 + x^4 - x^3 + x^2$

3. Множення поліномів:

$P_m \cdot P_n = (x^5 + x^4 + x^2 + x + 1) \cdot (x^3 + x + 1)$ Виконаємо множення: $P_m \cdot P_n = x^8 + x^6 + x^5 + x^7 + x^5 + x^4 + x^3 + x^6 + x^4 + x^3 + x^2$ Зведемо подібні члени: $P_m \cdot P_n = x^8 + x^7 + 2x^6 + 2x^5 + 2x^4 + 2x^3 + x^2$ У двійковій системі $2x^k = 0$, тому: $P_m \cdot P_n = x^8 + x^7 + x^2$

4. Ділення поліномів:

Ділимо $P_m$ на $P_n$. Використовуємо поліноміальний поділ. $P_m = (x^5 + x^4 + x^2 + x + 1), \quad P_n = (x^3 + x + 1)$ Ми виконаємо ділення покроково:

• Беремо старший член $x^5 / x^3 = x^2$, множимо на $P_n$: $x^2(x^3 + x + 1) = x^5 + x^3 + x^2$
• Віднімаємо: $(x^5 + x^4 + x^2 + x + 1) - (x^5 + x^3 + x^2) = x^4 - x^3 + x + 1$
• Беремо старший член $x^4 / x^3 = x$, множимо на $P_n$: $x(x^3 + x + 1) = x^4 + x^2 + x$
• Віднімаємо: $(x^4 - x^3 + x + 1) - (x^4 + x^2 + x) = -x^3 - x^2 + 1$
• Беремо старший член $-x^3 / x^3 = -1$, множимо на $P_n$: $-1(x^3 + x + 1) = -x^3 - x - 1$
• Віднімаємо: $(-x^3 - x^2 + 1) - (-x^3 - x - 1) = -x^2 + x + 2$ У двійковій системі $2 = 0$, тому залишок: $R(x) = -x^2 + x$

Результат ділення: $P_m / P_n = x^2 + x - 1, \quad \text{залишок} = -x^2 + x$

5. Перевірка результатів у десятковій системі:

Перетворимо поліноми на десяткові числа. Позначимо $P_m$ і $P_n$ як двійкові числа:

• $P_m = x^5 + x^4 + x^2 + x + 1 = 110111_2 = 55_{10}$
• $P_n = x^3 + x + 1 = 1011_2 = 11_{10}$

Додавання:

$55 + 11 = 66$, що відповідає поліному $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 = 1001100_2 = 66_{10}$.

Віднімання:

$55 - 11 = 44$, що відповідає поліному $x^5 + x^4 - x^3 + x^2 = 101100_2 = 44_{10}$.

Множення:

$55 \times 11 = 605$, що відповідає поліному $x^8 + x^7 + x^2 = 1001011101_2 = 605_{10}$.

Ділення:

$55 / 11 = 5$, залишок $0$, що відповідає результату $x^2 + x - 1$.

---

Чи потрібні вам додаткові пояснення щодо цих обчислень?

5 додаткових питань для закріплення:

1. Як перетворювати поліноми на двійкові числа?
2. Які правила скорочення в двійковій системі під час додавання і віднімання поліномів?
3. Як виконується множення поліномів в двійковій системі?
4. Що таке залишок при діленні поліномів?
5. Як можна перевірити результат ділення поліномів на практиці?

Порада: Щоб швидше працювати з двійковими числами, корисно знати властивості їх арифметичних операцій: наприклад, $1 + 1 = 0$ з перенесенням 1 в наступний розряд.