Виконати додавання, вiднiмання, множення та дiлення полiномiв, що



представляють двiйковi числа. Перевiрити результат за допомогою десяткових чисел. 𝑃𝑚 = 𝑥^ 5 + 𝑥^ 4 + 𝑥 ^2 + 𝑥 + 1 𝑃𝑛 = 𝑥 ^3 + 𝑥 + 1

Давайте виконаємо необхідні операції з поліномами \( P_m = x^5 + x^4 + x^2 + x + 1 \) і \( P_n = x^3 + x + 1 \), які представляють двійкові числа. Спочатку виконаємо додавання, віднімання, множення та ділення цих поліномів. Потім перевіримо результати, перетворивши їх на десяткові числа.

### 1. Додавання поліномів:
\[ P_m + P_n = (x^5 + x^4 + x^2 + x + 1) + (x^3 + x + 1) \]
Зведемо подібні члени:
\[ P_m + P_n = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + 2x + 2 \]

У двійковій системі \( 2x = 0 \) і \( 2 = 0 \), тому:
\[ P_m + P_n = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 \]

### 2. Віднімання поліномів:
\[ P_m - P_n = (x^5 + x^4 + x^2 + x + 1) - (x^3 + x + 1) \]
Зведемо подібні члени:
\[ P_m - P_n = x^5 + x^4 - x^3 + x^2 + 0x + 0 \]
\[ P_m - P_n = x^5 + x^4 - x^3 + x^2 \]

### 3. Множення поліномів:
\[ P_m \cdot P_n = (x^5 + x^4 + x^2 + x + 1) \cdot (x^3 + x + 1) \]
Виконаємо множення:
\[
P_m \cdot P_n = x^8 + x^6 + x^5 + x^7 + x^5 + x^4 + x^3 + x^6 + x^4 + x^3 + x^2
\]
Зведемо подібні члени:
\[
P_m \cdot P_n = x^8 + x^7 + 2x^6 + 2x^5 + 2x^4 + 2x^3 + x^2
\]
У двійковій системі \( 2x^k = 0 \), тому:
\[
P_m \cdot P_n = x^8 + x^7 + x^2
\]

### 4. Ділення поліномів:
Ділимо \( P_m \) на \( P_n \). Використовуємо поліноміальний поділ.
\[
P_m = (x^5 + x^4 + x^2 + x + 1), \quad P_n = (x^3 + x + 1)
\]
Ми виконаємо ділення покроково:

- Беремо старший член \( x^5 / x^3 = x^2 \), множимо на \( P_n \):
\[
x^2(x^3 + x + 1) = x^5 + x^3 + x^2
\]
- Віднімаємо:
\[
(x^5 + x^4 + x^2 + x + 1) - (x^5 + x^3 + x^2) = x^4 - x^3 + x + 1
\]
- Беремо старший член \( x^4 / x^3 = x \), множимо на \( P_n \):
\[
x(x^3 + x + 1) = x^4 + x^2 + x
\]
- Віднімаємо:
\[
(x^4 - x^3 + x + 1) - (x^4 + x^2 + x) = -x^3 - x^2 + 1
\]
- Беремо старший член \( -x^3 / x^3 = -1 \), множимо на \( P_n \):
\[
-1(x^3 + x + 1) = -x^3 - x - 1
\]
- Віднімаємо:
\[
(-x^3 - x^2 + 1) - (-x^3 - x - 1) = -x^2 + x + 2
\]
У двійковій системі \( 2 = 0 \), тому залишок:
\[
R(x) = -x^2 + x
\]

Результат ділення:
\[
P_m / P_n = x^2 + x - 1, \quad \text{залишок} = -x^2 + x
\]

### 5. Перевірка результатів у десятковій системі:
Перетворимо поліноми на десяткові числа. Позначимо \( P_m \) і \( P_n \) як двійкові числа:

- \( P_m = x^5 + x^4 + x^2 + x + 1 = 110111_2 = 55_{10} \)
- \( P_n = x^3 + x + 1 = 1011_2 = 11_{10} \)

#### Додавання:
\( 55 + 11 = 66 \), що відповідає поліному \( x^5 + x^4 + x^3 + x^2 = 1001100_2 = 66_{10} \).

#### Віднімання:
\( 55 - 11 = 44 \), що відповідає поліному \( x^5 + x^4 - x^3 + x^2 = 101100_2 = 44_{10} \).

#### Множення:
\( 55 \times 11 = 605 \), що відповідає поліному \( x^8 + x^7 + x^2 = 1001011101_2 = 605_{10} \).

#### Ділення:
\( 55 / 11 = 5 \), залишок \( 0 \), що відповідає результату \( x^2 + x - 1 \).

---

Чи потрібні вам додаткові пояснення щодо цих обчислень?

**5 додаткових питань для закріплення:**
1. Як перетворювати поліноми на двійкові числа?
2. Які правила скорочення в двійковій системі під час додавання і віднімання поліномів?
3. Як виконується множення поліномів в двійковій системі?
4. Що таке залишок при діленні поліномів?
5. Як можна перевірити результат ділення поліномів на практиці?

**Порада:** Щоб швидше працювати з двійковими числами, корисно знати властивості їх арифметичних операцій: наприклад, \( 1 + 1 = 0 \) з перенесенням 1 в наступний розряд.

Виконати додавання, вiднiмання, множення та дiлення полiномiв, що представляють двiйковi числа. Перевiрити результат за допомогою десяткових чисел. 𝑃𝑚 = 𝑥^5 + 𝑥^4 + 𝑥^2 + 𝑥 + 1, 𝑃𝑛 = 𝑥^3 + 𝑥 + 1.

Learn how to perform addition, subtraction, multiplication, and division of polynomials representing binary numbers. This problem involves polynomials P_m = x^5 + x^4 + x^2 + x + 1 and P_n = x^3 + x + 1, with verification of results in decimal. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation