Розглянемо поліном, що представляє двійкове число:

$P_m = x^5 + x^4 + x^2 + x + 1$

Цей поліном відповідає числу $111101_2$ у двійковій системі. У десятковій системі це:

$111101_2 = 1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 61_{10}.$

Давайте тепер виконаємо основні операції з поліномами, що представляють двійкові числа. Я наведу приклад на двох поліномах:

• $A(x) = x^3 + x + 1$ (еквівалент $1011_2 = 11_{10}$)
• $B(x) = x^2 + x$ (еквівалент $110_2 = 6_{10}$)

Тепер розглянемо основні операції з цими поліномами.

---

1. Додавання поліномів

$A(x) + B(x) = (x^3 + x + 1) + (x^2 + x) = x^3 + x^2 + 2x + 1$

Оскільки ми працюємо у двійковій системі, коефіцієнт $2x$ модулюється за модулем 2: $x^3 + x^2 + 1$ (еквівалентно $1101_2 = 13_{10}$).

---

2. Віднімання поліномів

У двійковій арифметиці віднімання аналогічне додаванню, бо $1 - 1 = 0$ і $1 + 1 = 0 \mod 2$. Отже: $A(x) - B(x) = (x^3 + x + 1) + (x^2 + x) = x^3 + x^2 + 1$ (результат той самий, що й при додаванні, оскільки це двійкова система).

---

3. Множення поліномів

$A(x) \cdot B(x) = (x^3 + x + 1) \cdot (x^2 + x)$ Розкриємо дужки:

$A(x) \cdot B(x) = x^5 + x^4 + x^3 + x^3 + x^2 + x = x^5 + x^4 + 2x^3 + x^2 + x$

Знову модулюємо коефіцієнти за модулем 2: $x^5 + x^4 + x^2 + x$ (еквівалент $111010_2 = 58_{10}$).

---

4. Ділення поліномів

Припустимо, ми ділимо $A(x) = x^3 + x + 1$ на $B(x) = x^2 + x$. Виконаємо поділ за схемою «в стовпчик». Перший член частки — $x$. Виконуємо множення:

$x \cdot (x^2 + x) = x^3 + x^2$

Віднімаємо від $x^3 + x + 1$: $(x^3 + x + 1) - (x^3 + x^2) = -x^2 + x + 1 = x + 1$

Отже, частка — $x$, а залишок — $x + 1$.

---

Перевірка результатів у десятковій системі

1. $A(x) = 1011_2 = 11_{10}$
2. $B(x) = 110_2 = 6_{10}$
3. Додавання: $11 + 6 = 17_{10} = 10001_2$
4. Множення: $11 \cdot 6 = 66_{10} = 1000010_2$

---

Чи є запитання або потрібні уточнення?

5 Додаткових питань:

1. Як виконувати ділення з більшими поліномами у двійковій арифметиці?
2. Що таке залишок при діленні поліномів і для чого він використовується?
3. Як перевірити коректність результатів за допомогою алгоритму Евкліда для поліномів?
4. Чим відрізняється множення поліномів від побітового множення чисел?
5. Як розпізнати, чи є поліном непривідним у двійковій арифметиці?

Порада: У двійковій арифметиці часто використовують поліноми для роботи з кодами корекції помилок, наприклад, у CRC (Cyclic Redundancy Check).