Давайте виконаємо операції додавання, віднімання, множення та ділення для поліномів, що представляють двійкові числа. Поліноми, які ми розглядаємо, працюють як двійкові числа, де коефіцієнти $0$ або $1$.

Ваш поліном: $P_m(x) = x^5 + x^4 + x^2 + x + 1$ Це відповідає числу в двійковій системі: $111011_2$ Щоб перевірити результати у десятковій системі, спочатку переведемо цей поліном у десяткове число.

$111011_2 = 1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 32 + 16 + 4 + 2 + 1 = 55_{10}$

---

1. Додавання двійкових поліномів

Нехай $A(x) = x^5 + x^3 + 1$ та $B(x) = x^4 + x + 1$.

Тоді: $A(x) + B(x) = (x^5 + x^3 + 1) + (x^4 + x + 1)$ Оскільки коефіцієнти в полі $GF(2)$ додаються по модулю 2 (тобто $1 + 1 = 0$), ми отримуємо: $A(x) + B(x) = x^5 + x^4 + x^3 + x$ У двійковій формі: $110110_2$, що відповідає: $110110_2 = 54_{10}$

---

2. Віднімання двійкових поліномів

В полі $GF(2)$ віднімання еквівалентне додаванню, тому: $A(x) - B(x) = A(x) + B(x) = x^5 + x^4 + x^3 + x$ Результат той самий: $x^5 + x^4 + x^3 + x$ або $110110_2 = 54_{10}$.

---

3. Множення двійкових поліномів

Помножимо ті ж поліноми $A(x) = x^5 + x^3 + 1$ та $B(x) = x^4 + x + 1$. Для цього застосуємо розподільний закон: $A(x) \cdot B(x) = (x^5 + x^3 + 1) \cdot (x^4 + x + 1)$

Розкриємо дужки: $A(x) \cdot B(x) = x^9 + x^6 + x^5 + x^7 + x^4 + x^3 + x^5 + x + 1$

Згрупуємо подібні члени: $x^9 + x^7 + x^6 + x^4 + x^3 + x + 1$ У двійковій формі: $1011000101_2$.

У десятковій системі: $1011000101_2 = 709_{10}$

---

4. Ділення двійкових поліномів

Виконаємо ділення полінома $A(x) = x^5 + x^3 + 1$ на $B(x) = x^4 + x + 1$. Застосуємо звичайний алгоритм ділення поліномів.

1. Поділимо старший член: $x^5 : x^4 = x$.
2. Помножимо та віднімемо: $(x \cdot (x^4 + x + 1)) = x^5 + x^2 + x$.
3. Залишок: $(x^5 + x^3 + 1) - (x^5 + x^2 + x) = x^3 + x^2 + 1$.

Таким чином: $\frac{A(x)}{B(x)} = x \quad \text{із залишком} \quad x^3 + x^2 + 1$

---

Перевірка результатів у десятковій системі

• Додавання: $110110_2 = 54_{10}$.
• Віднімання: $54_{10}$ (той самий результат).
• Множення: $1011000101_2 = 709_{10}$.
• Ділення: частка $x$, залишок $x^3 + x^2 + 1$.

---

Чи бажаєте додаткові пояснення або приклади? Ось 5 питань для закріплення:

1. Як у полі $GF(2)$ виконується додавання чисел?
2. Чому віднімання в полі $GF(2)$ еквівалентне додаванню?
3. Як можна ефективно множити поліноми в двійковій формі?
4. Як перевірити залишок після ділення поліномів?
5. Чим відрізняється ділення поліномів від ділення цілих чисел?

Порада: Поліноми в полі $GF(2)$ часто застосовуються в криптографії та теорії кодування, наприклад, для побудови CRC (циклічних надлишкових кодів).