$$ =x^2+2x-8 $$と$$ y=-2x^2+8x+1 $$で囲まれた面積を求めよ

与えられた方程式は次の通りです：

1. $ f(x) = x^2 + 2x - 8 $
2. $ g(x) = -2x^2 + 8x + 1 $

これらの2つの曲線で囲まれた面積を求めるためには、次の手順を踏む必要があります。

### 1. 交点を求める
まず、2つの関数が交わる点を見つける必要があります。すなわち、$ f(x) = g(x) $ の解を求めます。

\[
x^2 + 2x - 8 = -2x^2 + 8x + 1
\]

これを整理して、方程式を解きます。

\[
x^2 + 2x - 8 + 2x^2 - 8x - 1 = 0
\]
\[
3x^2 - 6x - 9 = 0
\]

この方程式をさらに簡単にすると、

\[
x^2 - 2x - 3 = 0
\]

これを因数分解すると、

\[
(x - 3)(x + 1) = 0
\]

したがって、交点は $ x = 3 $ と $ x = -1 $ です。

### 2. 面積を求める
次に、2つの関数の間の面積を求めるために、これらの交点間で関数の積分を行います。面積は次の式で表されます。

\[
\text{面積} = \int_{-1}^{3} [g(x) - f(x)] \, dx
\]

すなわち、

\[
\text{面積} = \int_{-1}^{3} \left[ (-2x^2 + 8x + 1) - (x^2 + 2x - 8) \right] \, dx
\]

これを簡略化すると、

\[
\text{面積} = \int_{-1}^{3} \left( -3x^2 + 6x + 9 \right) \, dx
\]

この積分を計算して面積を求めます。計算の結果、与えられた2つの関数 $ f(x) = x^2 + 2x - 8 $ と $ g(x) = -2x^2 + 8x + 1 $ で囲まれた面積は **32** です。

何か質問や詳しい説明が必要ですか？

### 関連問題:
1. $ f(x) = x^2 + 3x - 4 $ と $ g(x) = -x^2 + 5x + 2 $ で囲まれた面積を求めよ。
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4. 曲線 $ y = \sin(x) $ と $ y = \cos(x) $ が $ x = 0 $ から $ x = \pi $ の間で囲む面積を求めよ。
5. 二次関数 $ y = x^2 - 4x + 3 $ の軸対称性と頂点を求めよ。

### ヒント:
積分を使うと、曲線で囲まれた面積を求める際に、上の関数と下の関数の差を積分することで面積を計算できます。

Learn how to calculate the area between the quadratic functions x^2 + 2x - 8 and -2x^2 + 8x + 1 using integration. This problem involves solving for intersection points and applying the integral to find the enclosed area, suitable for students in Grades 10-12.

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