Найдем первообразную функцию для заданной функции $f(x) = 2x + 3$, проходящую через точку $A(1; 5)$.

Шаг 1: Общий вид первообразной функции

Первообразная $F(x)$ функции $f(x)$ находится по формуле: $F(x) = \int f(x) \, dx.$ Интегрируем $f(x) = 2x + 3$: $F(x) = \int (2x + 3) \, dx = x^2 + 3x + C,$ где $C$ — произвольная константа.

Шаг 2: Найдем $C$, используя точку $A(1; 5)$

Поскольку $F(x)$ проходит через точку $A(1; 5)$, подставим $x = 1$ и $F(1) = 5$ в уравнение: $F(1) = 1^2 + 3(1) + C = 5.$ Решаем уравнение: $1 + 3 + C = 5,$ $C = 1.$

Шаг 3: Полная форма первообразной функции

Подставим найденное значение $C = 1$ в общий вид первообразной: $F(x) = x^2 + 3x + 1.$

Ответ:

Первообразная функция: $F(x) = x^2 + 3x + 1.$

---

Хотите увидеть подробное объяснение интегрирования?

Вопросы для углубления:

1. Как вычислить первообразную для сложных функций?
2. Почему при интегрировании добавляется постоянная $C$?
3. Как решать задачи с граничными условиями для нахождения $C$?
4. Что такое неопределенный интеграл и чем он отличается от определенного?
5. Как графически интерпретировать первообразную?

Совет:

При нахождении первообразной всегда проверяйте, проходит ли найденная функция через заданную точку, подставляя координаты!