Чтобы найти первообразную функции $f(x)$, нужно интегрировать её. Давайте рассмотрим обе функции поочередно.

1. Для функции $f(x) = 3x^2 - 5$:

Найдём её первообразную. Для этого используем стандартные правила интегрирования:

$F(x) = \int (3x^2 - 5) dx$

Разделим интеграл:

$F(x) = \int 3x^2 dx - \int 5 dx$

Интегрируем каждый из этих членов:

$\int 3x^2 dx = x^3 \quad \text{и} \quad \int 5 dx = 5x$

Итак, первообразная:

$F(x) = x^3 - 5x + C$

Теперь, чтобы найти значение константы $C$, используем точку $A(-1; 3)$, которая лежит на графике первообразной. Подставим $x = -1$ и $F(-1) = 3$:

$F(-1) = (-1)^3 - 5(-1) + C = 3$

$-1 + 5 + C = 3$

$4 + C = 3 \quad \Rightarrow \quad C = -1$

Таким образом, первообразная для функции $f(x) = 3x^2 - 5$ будет:

$F(x) = x^3 - 5x - 1$

2. Для функции $f(x) = 2x^2 + x$:

Теперь найдём первообразную для $f(x) = 2x^2 + x$:

$F(x) = \int (2x^2 + x) dx$

Интегрируем каждый член:

$\int 2x^2 dx = \frac{2x^3}{3} \quad \text{и} \quad \int x dx = \frac{x^2}{2}$

Итак, первообразная:

$F(x) = \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C$

Теперь используем точку $A(1; 1)$, подставив $x = 1$ и $F(1) = 1$:

$F(1) = \frac{2(1)^3}{3} + \frac{(1)^2}{2} + C = 1$

$\frac{2}{3} + \frac{1}{2} + C = 1$

Приводим к общему знаменателю:

$\frac{4}{6} + \frac{3}{6} + C = 1$

$\frac{7}{6} + C = 1 \quad \Rightarrow \quad C = 1 - \frac{7}{6} = \frac{-1}{6}$

Таким образом, первообразная для функции $f(x) = 2x^2 + x$ будет:

$F(x) = \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - \frac{1}{6}$

Ответ:

1. Первообразная для $f(x) = 3x^2 - 5$ с точкой $A(-1; 3)$: $F(x) = x^3 - 5x - 1$

2. Первообразная для $f(x) = 2x^2 + x$ с точкой $A(1; 1)$: $F(x) = \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - \frac{1}{6}$

Если вам нужно больше подробностей или есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь их задавать!

5 вопросов для продолжения:

1. Как вычислить производную функции, зная её первообразную?
2. Чем отличается интегрирование с постоянной от интегрирования без неё?
3. Как найти площадь, ограниченную графиком функции и осью абсцисс?
4. Какие существуют методы численного интегрирования?
5. Как применяются первообразные в задачах физики?

Совет: Всегда проверяйте точку на графике, чтобы найти точное значение константы $C$ и удостовериться, что ваша первообразная верна.