Для нахождения значения $F(1)$, где $F(x)$ является первообразной функции $f(x) = 5x^2 - 3x$ и известно, что $F(0) = 2$, нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдем первообразную функции $f(x)$.

Функция $f(x) = 5x^2 - 3x$ является полиномом, для которого первообразная берется по стандартным формулам:

• Первообразная от $x^n$ равна $\frac{x^{n+1}}{n+1}$.

Вычислим первообразную для каждого слагаемого:

• Первообразная от $5x^2$ — это $\frac{5x^3}{3}$,
• Первообразная от $-3x$ — это $\frac{-3x^2}{2}$.

Итак, общая первообразная будет:

$F(x) = \frac{5x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + C$

где $C$ — это постоянная интегрирования, которую нам нужно найти, используя условие $F(0) = 2$.

Шаг 2: Используем условие $F(0) = 2$, чтобы найти $C$.

Подставляем $x = 0$ в выражение для $F(x)$:

$F(0) = \frac{5(0)^3}{3} - \frac{3(0)^2}{2} + C = 2.$

Получаем, что:

$C = 2.$

Шаг 3: Найдем $F(1)$.

Теперь, когда мы знаем, что $C = 2$, подставим это значение в выражение для $F(x)$:

$F(x) = \frac{5x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2.$

Теперь подставим $x = 1$:

$F(1) = \frac{5(1)^3}{3} - \frac{3(1)^2}{2} + 2 = \frac{5}{3} - \frac{3}{2} + 2.$

Приведем к общему знаменателю:

$F(1) = \frac{5}{3} - \frac{3}{2} + \frac{6}{3} = \frac{5 + 6}{3} - \frac{3}{2} = \frac{11}{3} - \frac{3}{2}.$

Теперь приводим к общему знаменателю для $\frac{11}{3} - \frac{3}{2}$:

$F(1) = \frac{22}{6} - \frac{9}{6} = \frac{13}{6}.$

Ответ: $F(1) = \frac{13}{6}$.

Хотите подробное объяснение шагов или у вас есть вопросы по другим темам? Вот несколько связанных вопросов:

1. Как найти первообразную для других типов функций (например, экспоненциальных или тригонометрических)?
2. Как использовать свойство постоянной интегрирования для различных начальных условий?
3. Чем отличаются неопределенный и определенный интегралы?
4. Как вычислить производную функции, если дана её первообразная?
5. Какие методы существуют для нахождения первообразных для сложных функций?

Совет: При вычислении первообразной для многочленов всегда применяйте правило интегрирования для степеней $x^n$, не забывая о добавлении константы $C$ в неопределенный интеграл.