Давайте подробнее разберем функцию $y = -3\sin(2x + \frac{\pi}{2}) - 2$ и то, как на нее влияет вертикальное сжатие и отражение через $-\frac{1}{2}$.

1. Исходная функция

Функция $y = -3\sin(2x + \frac{\pi}{2}) - 2$ имеет следующие характеристики:

• Амплитуда: $|A| = 3$. Поскольку коэффициент перед синусом отрицательный, график функции отражен относительно оси $x$.
• Период: Период синусоидальной функции $\sin(kx)$ равен $\frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае $k = 2$, поэтому период $\frac{2\pi}{2} = \pi$.
• Фазовый сдвиг: Функция сдвинута влево на $\frac{\pi}{2}$ (по правилу: если внутри синуса аргумент имеет вид $bx + c$, то фазовый сдвиг равен $-\frac{c}{b}$).
• Вертикальный сдвиг: Функция смещена вниз на 2 единицы.

2. Применение вертикального сжатия и отражения

Мы умножаем всю функцию на $-\frac{1}{2}$:

$y = -\frac{1}{2} \cdot \left( -3\sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) - 2 \right)$

Выполним умножение:

$y = \frac{3}{2} \sin \left( 2x + \frac{\pi}{2} \right) + 1$

Изменения графика:

1. Амплитуда: Исходная амплитуда была 3, а теперь стала $\frac{3}{2}$. График сжат вертикально в 2 раза, а также отражен, так как минус перед амплитудой исчез.
2. Вертикальный сдвиг: Исходный вертикальный сдвиг был на 2 единицы вниз, теперь график сдвинулся вверх на 1 единицу.
3. Период и фазовый сдвиг остаются без изменений, так как множитель на всю функцию не влияет на переменные внутри синуса.

3. Итоговая функция

После всех преобразований функция выглядит так:

$y = \frac{3}{2} \sin \left( 2x + \frac{\pi}{2} \right) + 1$

Вывод

Вертикальное сжатие и отражение изменили амплитуду функции и вертикальный сдвиг, но не повлияли на период и фазовый сдвиг.

Вопросы для закрепления:

1. Какой период у функции $\sin(4x)$?
2. Как найти амплитуду функции $y = -5\cos(3x) + 7$?
3. В какую сторону сдвинется график функции $\sin(x - \frac{\pi}{4})$?
4. Каким будет график функции $y = 2 \sin(2x) + 3$ после умножения на 3?
5. Какой фазовый сдвиг имеет функция $y = \cos \left( 3x + \frac{\pi}{3} \right)$?

Совет

Чтобы лучше понимать графики тригонометрических функций, полезно строить их вручную или с помощью графических калькуляторов для визуализации изменений.