3x2 +y2-12x+6y+9 = 0  tentukan koordinat titik pusat titik puncak fokus panjang sumbu minor dan mayor

Tampilkan draf

Mari kita mulai dengan menata ulang persamaan yang diberikan untuk menentukan karakteristik elipsnya. Persamaan yang diberikan adalah:

\[
3x^2 + y^2 - 12x + 6y + 9 = 0
\]

### Langkah 1: Menyederhanakan Persamaan
Pertama, kita kelompokkan suku-suku \(x\) dan \(y\) lalu selesaikan untuk mengidentifikasi bentuk kanonik elips:

\[
3x^2 - 12x + y^2 + 6y = -9
\]

### Langkah 2: Menyelesaikan Kuadrat Sempurna
Mari kita buat persamaan di atas menjadi bentuk kuadrat sempurna.

#### Untuk suku-suku yang mengandung \(x\):
\[
3(x^2 - 4x) = 3[(x - 2)^2 - 4] = 3(x - 2)^2 - 12
\]

#### Untuk suku-suku yang mengandung \(y\):
\[
y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9
\]

Jadi, substitusi ke dalam persamaan:

\[
3(x - 2)^2 - 12 + (y + 3)^2 - 9 = -9
\]

Kemudian, kita sederhanakan:

\[
3(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 12
\]

### Langkah 3: Mengubah ke Bentuk Standar Elips
Bagi seluruh persamaan dengan 12 untuk mengubahnya menjadi bentuk standar elips:

\[
\frac{(x - 2)^2}{4} + \frac{(y + 3)^2}{12} = 1
\]

### Langkah 4: Mengidentifikasi Koordinat Titik dan Panjang Sumbu
Dari persamaan standar elips di atas, kita dapat mengidentifikasi:

- **Titik Pusat (h, k)**: \( (2, -3) \)
- **Panjang Sumbu Mayor (2b)**: \( 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3} \) (terletak pada sumbu \(y\))
- **Panjang Sumbu Minor (2a)**: \( 2\sqrt{4} = 4 \) (terletak pada sumbu \(x\))
- **Jarak Fokus (c)**: \( c = \sqrt{b^2 - a^2} = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5} \)
- **Koordinat Fokus**:
  - Fokus pada sumbu mayor: \( (2, -3 \pm \sqrt{5}) \)

Berikut ini adalah draf dari perhitungan yang telah kita buat. Apakah Anda ingin saya menjelaskan lebih lanjut atau memberikan detail tentang langkah-langkah tertentu?

Berikut adalah 5 pertanyaan terkait untuk memperluas pemahaman:

1. Bagaimana cara mengidentifikasi apakah persamaan tersebut merupakan elips, hiperbola, atau parabola?
2. Apa perbedaan antara sumbu mayor dan sumbu minor dalam elips?
3. Bagaimana jika koefisien di depan suku \(y^2\) lebih besar daripada \(x^2\)?
4. Bagaimana menghitung eksentrisitas elips?
5. Bagaimana mengubah elips yang tidak dalam posisi standar menjadi bentuk standar?

**Tip**: Saat menyelesaikan kuadrat sempurna, pastikan untuk menambahkan dan mengurangkan jumlah yang sama di kedua sisi persamaan untuk menjaga kesetaraan.

Explore how to analyze an ellipse given its standard form equation. Understand the coordinates of the center, vertices, foci, and lengths of the major and minor axes. Detailed step-by-step solution provided.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation