Давайте разберем задачу. Функция дана в виде:

$f(x) = 4(x - 2)^2 - 5$

Теперь шаг за шагом разберем утверждения.

Шаг 1: Найдем основные свойства функции $f(x)$

1. Вершина параболы: Поскольку функция представляет собой параболу вида $a(x-h)^2 + k$, вершина находится в точке: $x = 2, \; f(2) = -5$ Таким образом, вершина: $(2, -5)$.

2. Монотонность:

   • Для $x < 2$, $f(x)$ убывает, так как $a = 4 > 0$.
   • Для $x > 2$, $f(x)$ возрастает.

3. Четность функции: Функция нечетная, так как она не симметрична относительно $y$-оси.

4. Область определения: Поскольку $f(x)$ является квадратичной функцией, её область определения: $D(f) = (-\infty, \infty)$

5. Экстремум: У функции есть минимум в точке $(2, -5)$. Точек перегиба нет, так как это квадратичная функция.

Шаг 2: Проверим утверждения

1. $f(x)$ монотонно возрастает при $x \in (-\infty, 2]$ — Неверно, так как при $x < 2$ функция убывает.

2. У функции $f(x)$ нет точек перегиба — Верно, так как это квадратичная функция (второй степени), у неё нет перегибов.

3. Функция $f(x)$ четная — Неверно, она несимметрична относительно $y$-оси.

4. $f(x)$ монотонно возрастает при $x \in [2, \infty)$ — Верно, функция возрастает для $x > 2$.

5. Область определения функции $f(x): x \in (-\infty, \infty)$ — Верно, квадратичная функция определена для всех $x$.

6. У функции $f(x)$ нет экстремумов — Неверно, у функции есть минимум.

Ответ:

Правильные утверждения:

• $\text{У функции } f(x) \text{ нет точек перегиба.}$
• $f(x) \text{ монотонно возрастает при } x \in [2, \infty).$
• $\text{Область определения функции } f(x): x \in (-\infty, \infty).$

Хотите подробнее разобрать решение или график?

Связанные вопросы:

1. Как построить график функции $f(x) = 4(x - 2)^2 - 5$?
2. Что означает монотонность функции на интервале?
3. Как понять, что у функции нет точек перегиба?
4. Какие типы симметрий существуют у функций?
5. Что определяет экстремум у функции?

Совет: При изучении свойств функций полезно строить графики, чтобы визуально понимать их поведение.