Aby zbadać zbiór wartości i przedziały monotoniczności funkcji $f(x) = 2x^2 + 4x - 2$, wykonajmy następujące kroki:

---

1. Zbiór wartości

Funkcja $f(x) = 2x^2 + 4x - 2$ jest funkcją kwadratową, a jej zbiór wartości zależy od wierzchołka paraboli.

a) Współczynniki:

• $a = 2$ (funkcja rosnąca dla $x \to \infty$),
• $b = 4$,
• $c = -2$.

b) Współrzędne wierzchołka paraboli: Współrzędna $x$ wierzchołka to: $x_w = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1.$

Współrzędna $y$ (wartość funkcji w wierzchołku): $y_w = f(x_w) = f(-1) = 2(-1)^2 + 4(-1) - 2 = 2 - 4 - 2 = -4.$

Zbiór wartości: Ponieważ $a > 0$, parabola jest skierowana ku górze, więc: $f(x) \geq -4, \quad \text{czyli zbiór wartości to } \langle -4, \infty).$

---

2. Przedziały monotoniczności

Funkcja kwadratowa zmienia monotoniczność w wierzchołku. Wyznaczmy te przedziały:

a) Rozwiązanie pochodnej: Pochodna funkcji to: $f'(x) = 4x + 4.$

Równanie $f'(x) = 0$ daje: $4x + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1.$

b) Analiza znaku pochodnej:

• Dla $x < -1$: $f'(x) < 0$, więc funkcja maleje.
• Dla $x > -1$: $f'(x) > 0$, więc funkcja rośnie.

Przedziały monotoniczności:

&\text{Malejąca:} \quad (-\infty, -1), \\ &\text{Rosnąca:} \quad (-1, \infty).$$ --- ### **Podsumowanie:** 1. **Zbiór wartości:** $$\langle -4, \infty)$$. 2. **Przedziały monotoniczności:** - Malejąca: $$(-\infty, -1)$$, - Rosnąca: $$(-1, \infty)$$. --- Czy chcesz dokładniejsze wyjaśnienie któregoś z punktów? --- ### **Powiązane pytania:** 1. Jak znaleźć monotoniczność funkcji wielomianowych wyższego stopnia? 2. Jak rozpoznać, czy funkcja kwadratowa jest ograniczona z dołu lub z góry? 3. W jaki sposób współczynniki funkcji kwadratowej wpływają na jej wykres? 4. Jak wyznaczyć punkty przecięcia funkcji z osiami układu współrzędnych? 5. W jaki sposób wykorzystać pochodną do analizy innych funkcji? **Porada:** Zawsze sprawdzaj, czy obliczenia pochodnej i wierzchołka paraboli są dokładne, aby uniknąć błędów w analizie monotoniczności!