Para verificar se um conjunto é subespaço vetorial de $\mathbb{R}^2$, ele deve satisfazer os seguintes critérios:

1. Deve conter o vetor nulo.
2. Deve ser fechado sob a adição vetorial.
3. Deve ser fechado sob a multiplicação por escalar.

Vamos examinar os critérios usando as operações fornecidas:

Definições:

• A adição definida é $(a, b) + (c, d) = (ac, bd)$.
• A multiplicação por escalar definida é $k(a, b) = (ka, kb)$.

Passo 1: Verificar o vetor nulo

O vetor nulo em um subespaço deve satisfazer a propriedade de identidade da adição. Ou seja, para todo vetor $(a, b)$, $(a, b) + (0, 0) = (a, b).$

Com a operação definida, temos: $(a, b) + (0, 0) = (a \cdot 0, b \cdot 0) = (0, 0).$

Isso é inconsistente com a definição de um vetor nulo, já que $(a, b)$ não é preservado. Portanto, o conjunto não contém um vetor nulo compatível com as operações dadas.

Passo 2: Fechamento sob a adição

Para que o conjunto seja fechado sob a adição, a soma de dois vetores quaisquer no conjunto deve produzir outro vetor no conjunto. Com a operação dada: $(a, b) + (c, d) = (ac, bd).$

Considere $(a, b) = (1, 2)$ e $(c, d) = (3, 4)$: $(1, 2) + (3, 4) = (1 \cdot 3, 2 \cdot 4) = (3, 8).$

A operação não segue as propriedades usuais da soma vetorial (como a associatividade ou a comutatividade), e é incompatível com a estrutura de espaço vetorial de $\mathbb{R}^2$.

Passo 3: Fechamento sob multiplicação por escalar

Para verificar se o conjunto é fechado sob a multiplicação por escalar, consideremos um vetor qualquer $(a, b)$ e um escalar $k$. Com a operação definida: $k(a, b) = (ka, kb).$

Essa operação é válida e produz um vetor em $\mathbb{R}^2$, portanto, o conjunto é fechado sob a multiplicação por escalar.

Conclusão

O conjunto não é um subespaço de $\mathbb{R}^2$ porque:

1. Não contém o vetor nulo com as operações dadas.
2. Não é fechado sob a adição conforme a operação definida.

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Perguntas Relacionadas:

1. Quais propriedades definem um espaço vetorial?
2. Por que a presença do vetor nulo é necessária para um subespaço?
3. A multiplicação por escalar sempre mantém fechamento em $\mathbb{R}^2$?
4. Quais são as diferenças entre subespaços e conjuntos vetoriais genéricos?
5. Como podemos redefinir as operações para que formem um subespaço?

Dica: Sempre cheque o vetor nulo e o fechamento antes de avançar para as demais verificações em problemas de subespaços.