Найдите: а) векторное произведение векторов АВ и АС ; б) смешанное произведение векторов АВ , АС , АD и определите его геометрический смысл, если точки A, B, C, D имеют координаты A(5,-4,3) B(2,-1,8) C(4,5,-7) D(2,-4,-3)

Рассмотрим задачу пошагово. 

### Шаг 1: Определение векторов AB, AC и AD
Сначала находим координаты векторов \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AC} \), и \( \overrightarrow{AD} \).

1. Вектор \( \overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 5, -1 + 4, 8 - 3) = (-3, 3, 5) \).
2. Вектор \( \overrightarrow{AC} = C - A = (4 - 5, 5 + 4, -7 - 3) = (-1, 9, -10) \).
3. Вектор \( \overrightarrow{AD} = D - A = (2 - 5, -4 + 4, -3 - 3) = (-3, 0, -6) \).

### Часть а: Нахождение векторного произведения \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \)

Векторное произведение двух векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \) находится по формуле:

\[
\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = 
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
-3 & 3 & 5 \\
-1 & 9 & -10 \\
\end{vmatrix}
\]

Рассчитаем каждый компонент:

1. \( i \)-компонент: \( 3 \cdot (-10) - 5 \cdot 9 = -30 - 45 = -75 \).
2. \( j \)-компонент: \( -(-3 \cdot (-10) - 5 \cdot (-1)) = -30 + 5 = -35 \).
3. \( k \)-компонент: \( -3 \cdot 9 - 3 \cdot (-1) = -27 + 3 = -24 \).

Таким образом,

\[
\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (-75, -35, -24)
\]

### Часть б: Нахождение смешанного произведения \( (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD} \)

Смешанное произведение \( (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD} \) вычисляется по формуле:

\[
(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD} = (-75) \cdot (-3) + (-35) \cdot 0 + (-24) \cdot (-6)
\]

Рассчитаем:

\[
(-75) \cdot (-3) = 225, \quad (-24) \cdot (-6) = 144
\]

\[
225 + 0 + 144 = 369
\]

### Геометрический смысл смешанного произведения

Геометрический смысл смешанного произведения \( (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD} \) — это объем параллелепипеда, построенного на векторах \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{AD} \). В данном случае объем параллелепипеда равен \( 369 \) единиц объема.

---

Могу помочь с разъяснением каких-либо шагов или подробностями расчетов?

### Вопросы для углубления:
1. Каковы свойства векторного произведения и как они могут применяться в задачах на объем?
2. Какие особенности имеет смешанное произведение векторов?
3. Почему объем параллелепипеда можно находить с помощью смешанного произведения?
4. В каких случаях смешанное произведение векторов будет равно нулю и что это значит?
5. Как вычислить направление нормали к плоскости, образованной двумя векторами?

### Совет:
Запомните, что векторное произведение двух векторов всегда перпендикулярно к плоскости, образованной этими векторами, что полезно при определении направлений.

This detailed solution explains how to find the vector cross product and scalar triple product of vectors AB, AC, and AD using given coordinates. It also includes the geometric interpretation of the scalar triple product, representing the volume of a parallelepiped. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation