Рассмотрим задачу пошагово.

Шаг 1: Определение векторов AB, AC и AD

Сначала находим координаты векторов $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, и $\overrightarrow{AD}$.

1. Вектор $\overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 5, -1 + 4, 8 - 3) = (-3, 3, 5)$.
2. Вектор $\overrightarrow{AC} = C - A = (4 - 5, 5 + 4, -7 - 3) = (-1, 9, -10)$.
3. Вектор $\overrightarrow{AD} = D - A = (2 - 5, -4 + 4, -3 - 3) = (-3, 0, -6)$.

Часть а: Нахождение векторного произведения $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$

Векторное произведение двух векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ находится по формуле:

\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 3 & 5 \\ -1 & 9 & -10 \\ \end{vmatrix}$$ Рассчитаем каждый компонент: 1. $$i$$-компонент: $$3 \cdot (-10) - 5 \cdot 9 = -30 - 45 = -75$$. 2. $$j$$-компонент: $$-(-3 \cdot (-10) - 5 \cdot (-1)) = -30 + 5 = -35$$. 3. $$k$$-компонент: $$-3 \cdot 9 - 3 \cdot (-1) = -27 + 3 = -24$$. Таким образом, $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (-75, -35, -24)$$ ### Часть б: Нахождение смешанного произведения $$(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD}$$ Смешанное произведение $$(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD}$$ вычисляется по формуле: $$(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD} = (-75) \cdot (-3) + (-35) \cdot 0 + (-24) \cdot (-6)$$ Рассчитаем: $$(-75) \cdot (-3) = 225, \quad (-24) \cdot (-6) = 144$$ $$225 + 0 + 144 = 369$$ ### Геометрический смысл смешанного произведения Геометрический смысл смешанного произведения $$(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD}$$ — это объем параллелепипеда, построенного на векторах $$\overrightarrow{AB}$$, $$\overrightarrow{AC}$$ и $$\overrightarrow{AD}$$. В данном случае объем параллелепипеда равен $$369$$ единиц объема. --- Могу помочь с разъяснением каких-либо шагов или подробностями расчетов? ### Вопросы для углубления: 1. Каковы свойства векторного произведения и как они могут применяться в задачах на объем? 2. Какие особенности имеет смешанное произведение векторов? 3. Почему объем параллелепипеда можно находить с помощью смешанного произведения? 4. В каких случаях смешанное произведение векторов будет равно нулю и что это значит? 5. Как вычислить направление нормали к плоскости, образованной двумя векторами? ### Совет: Запомните, что векторное произведение двух векторов всегда перпендикулярно к плоскости, образованной этими векторами, что полезно при определении направлений.