İfadeye adım adım bakalım ve doğruluğunu inceleyelim. İfade şu şekildedir:

$\nabla \cdot [\mathbf{r} \cdot \nabla \left( \frac{1}{r^3} \right)] = 3r^{-4}$

1. İlk Adım: $\nabla \left( \frac{1}{r^3} \right)$ Hesaplama

Öncelikle, $\frac{1}{r^3}$ ifadesinin gradyanını ($\nabla \left( \frac{1}{r^3} \right)$) hesaplamamız gerekiyor. $r = \|\mathbf{r}\|$ ve bu durumda:

$\frac{1}{r^3} = r^{-3}$

Bunun gradyanını hesaplamak için türev alacağız. Skaler bir fonksiyonun gradyanı şu şekildedir:

$\nabla \left( r^{-3} \right) = -3 r^{-4} \hat{r}$

Burada $\hat{r} = \frac{\mathbf{r}}{r}$ birim vektördür. Böylece:

$\nabla \left( \frac{1}{r^3} \right) = -3 \frac{\mathbf{r}}{r^5} = -3 r^{-5} \mathbf{r}$

2. İkinci Adım: $\mathbf{r} \cdot \nabla \left( \frac{1}{r^3} \right)$ Hesaplama

Şimdi, $\mathbf{r} \cdot \nabla \left( \frac{1}{r^3} \right)$ ifadesini inceleyelim. Bunu, yukarıdaki sonucu $\mathbf{r}$ ile çarparak bulacağız:

$\mathbf{r} \cdot \left( -3 \frac{\mathbf{r}}{r^5} \right) = -3 \frac{\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}}{r^5}$

$\mathbf{r} \cdot \mathbf{r} = r^2$ olduğundan:

$\mathbf{r} \cdot \nabla \left( \frac{1}{r^3} \right) = -3 \frac{r^2}{r^5} = -3 r^{-3}$

3. Üçüncü Adım: Diverjansı Hesaplama $\nabla \cdot [\mathbf{r} \cdot \nabla (1/r^3)]$

Şimdi $\nabla \cdot [\mathbf{r} \cdot \nabla (1/r^3)]$ ifadesini bulmalıyız. Burada $\mathbf{r} \cdot \nabla \left( \frac{1}{r^3} \right) = -3 r^{-3}$ ifadesinin diverjansını alacağız.

Skaler bir fonksiyonun diverjansı ise:

$\nabla \cdot (-3 r^{-3}) = -3 \nabla \cdot (r^{-3})$

$\nabla \cdot (r^{-3})$ ifadesinin değeri $3 r^{-4}$ olduğu için:

$\nabla \cdot [\mathbf{r} \cdot \nabla (1/r^3)] = 3 r^{-4}$

Sonuç

Verilen ifade doğrudur:

$\nabla \cdot [\mathbf{r} \cdot \nabla (1/r^3)] = 3 r^{-4}$

Detay veya başka sorular ister misiniz?

İlgili Sorular:

1. Vektör analizinde diverjans nedir ve nasıl hesaplanır?
2. Gradyan ve diverjans arasındaki ilişki nedir?
3. Kutupsal koordinatlarda diverjans nasıl hesaplanır?
4. Farklı bir fonksiyon için diverjans hesabı nasıl yapılır?
5. Laplasyen operatörünü bu tür ifadelerde nasıl kullanırız?

İpucu: Gradyan ve diverjans işlemleri, bir vektör veya skaler alanın mekânsal değişimini analiz ederken kullanışlıdır; bu iki operatörün ilişkilerini anlamak, birçok fiziksel problemin çözümünde kritik rol oynar.