Math Problem Statement

Отвечай на русском

Методами векторной алгебры найти площадь треугольника с вершинами в точках A(0, 1, 2), B(-5, 1, 0), C(2, 0, 0).

Solution

В задаче требуется найти площадь треугольника с вершинами A(0,1,2)A(0, 1, 2), B(−5,1,0)B(-5, 1, 0), C(2,0,0)C(2, 0, 0) с использованием методов векторной алгебры.

Решение:

Площадь треугольника можно найти через половину модуля векторного произведения двух сторон треугольника:

S=12∥AB⃗×AC⃗∥S = \frac{1}{2} \left\| \vec{AB} \times \vec{AC} \right\|

Шаг 1. Найдем векторы AB⃗\vec{AB} и AC⃗\vec{AC}:

AB⃗=B−A=(−5−0,1−1,0−2)=(−5,0,−2)\vec{AB} = B - A = (-5 - 0, 1 - 1, 0 - 2) = (-5, 0, -2) AC⃗=C−A=(2−0,0−1,0−2)=(2,−1,−2)\vec{AC} = C - A = (2 - 0, 0 - 1, 0 - 2) = (2, -1, -2)

Шаг 2. Найдем векторное произведение AB⃗×AC⃗\vec{AB} \times \vec{AC}:

\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -5 & 0 & -2 \\ 2 & -1 & -2 \end{vmatrix}$$ Раскроем определитель: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} -5 & -2 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} -5 & 0 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}$$ 1. Подматрица для $$\mathbf{i}$$: $$\begin{vmatrix} 0 & -2 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = (0)(-2) - (-2)(-1) = 0 - 2 = -2$$ 2. Подматрица для $$\mathbf{j}$$: $$\begin{vmatrix} -5 & -2 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = (-5)(-2) - (-2)(2) = 10 - (-4) = 14$$ 3. Подматрица для $$\mathbf{k}$$: $$\begin{vmatrix} -5 & 0 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (-5)(-1) - (0)(2) = 5 - 0 = 5$$ Подставляем: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = -2\mathbf{i} - 14\mathbf{j} + 5\mathbf{k}$$ или $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (-2, -14, 5)$$ #### Шаг 3. Найдем модуль $$\vec{AB} \times \vec{AC}$$: $$\left\| \vec{AB} \times \vec{AC} \right\| = \sqrt{(-2)^2 + (-14)^2 + 5^2}$$ $$\left\| \vec{AB} \times \vec{AC} \right\| = \sqrt{4 + 196 + 25} = \sqrt{225} = 15$$ #### Шаг 4. Найдем площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2} \left\| \vec{AB} \times \vec{AC} \right\| = \frac{1}{2} \cdot 15 = 7.5$$ ### Ответ: Площадь треугольника равна $$7.5$$. Есть ли вопросы? Вот 5 связанных вопросов для размышления: 1. Как найти площадь треугольника в двухмерной системе координат? 2. Какова геометрическая интерпретация векторного произведения? 3. Как изменить координаты, чтобы площадь оставалась неизменной? 4. Можно ли найти площадь другим методом, например, через скалярное произведение? 5. Как векторное произведение связано с направлением нормали к плоскости? **Совет**: Проверяйте правильность вычислений модуля векторного произведения, так как ошибка в одном элементе может изменить итоговый результат.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Vector Algebra
Geometry
Cross Product
Magnitude

Formulas

Area of triangle = (1/2) * ||AB × AC||
Vector cross product: u × v = |i j k|
Magnitude of a vector: ||v|| = √(x^2 + y^2 + z^2)

Theorems

Geometric Interpretation of Cross Product

Suitable Grade Level

Grades 10-12

Related Recommendation

Векторы в треугольнике ABC: Вычисление координат векторов AB, AC и CB

Объем пирамиды с вершинами в точках O(1,1,2), A(2,3,-1), B(2,-2,4), C(-1,1,3)

Уравнение плоскости, проходящей через точку A(1, 3, -5)

Area of Triangle with Vertices A(1,-1,0), B(2,1,-1), C(-1,1,2)

Проекция точки на прямую в пространстве: пример с координатами A, B и C