https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1729234901176kscb66zp.jpg

Данная задача просит вычислить объём пирамиды с вершинами в точках \( O(1, 1, 2), A(2, 3, -1), B(2, -2, 4), C(-1, 1, 3) \) и высотой, опущенной из точки \( O \) на грань \( ABC \).

Решим задачу по шагам.

### Шаг 1: Найдем площадь треугольника \( ABC \)
Для этого используем векторное произведение двух векторов, образованных вершинами треугольника. Пусть:
\[
\overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 2, -2 - 3, 4 - (-1)) = (0, -5, 5)
\]
\[
\overrightarrow{AC} = C - A = (-1 - 2, 1 - 3, 3 - (-1)) = (-3, -2, 4)
\]

Теперь вычислим векторное произведение \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \):
\[
\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -5 & 5 \\ -3 & -2 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} -5 & 5 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 0 & 5 \\ -3 & 4 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 0 & -5 \\ -3 & -2 \end{vmatrix}
\]
\[
= \mathbf{i}( (-5) \cdot 4 - 5 \cdot (-2)) - \mathbf{j}( 0 \cdot 4 - 5 \cdot (-3)) + \mathbf{k}( 0 \cdot (-2) - (-5) \cdot (-3))
\]
\[
= \mathbf{i}( -20 + 10) - \mathbf{j}(0 + 15) + \mathbf{k}(0 - 15)
\]
\[
= \mathbf{i}(-10) - \mathbf{j}(15) + \mathbf{k}(-15)
\]
То есть, вектор нормали:
\[
\overrightarrow{n} = (-10, -15, -15)
\]

Длина этого вектора:
\[
|\overrightarrow{n}| = \sqrt{(-10)^2 + (-15)^2 + (-15)^2} = \sqrt{100 + 225 + 225} = \sqrt{550} = 5\sqrt{22}
\]

Площадь треугольника \( ABC \) равна половине длины векторного произведения:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{22} = \frac{5\sqrt{22}}{2}
\]

### Шаг 2: Найдем высоту пирамиды
Для этого нужно найти расстояние от точки \( O(1, 1, 2) \) до плоскости, содержащей треугольник \( ABC \). Уравнение плоскости можно найти с помощью нормального вектора \( \overrightarrow{n} = (-10, -15, -15) \) и точки \( A(2, 3, -1) \). Уравнение плоскости:
\[
-10(x - 2) - 15(y - 3) - 15(z + 1) = 0
\]
Приведем уравнение к стандартному виду:
\[
-10x + 20 - 15y + 45 - 15z - 15 = 0 \quad \Rightarrow \quad -10x - 15y - 15z + 50 = 0
\]
\[
\Rightarrow 10x + 15y + 15z = 50
\]

Теперь находим расстояние от точки \( O(1, 1, 2) \) до плоскости. Формула для расстояния от точки \( (x_1, y_1, z_1) \) до плоскости \( Ax + By + Cz + D = 0 \):
\[
d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
\]
Подставляем:
\[
A = 10, B = 15, C = 15, D = -50
\]
\[
d = \frac{|10 \cdot 1 + 15 \cdot 1 + 15 \cdot 2 - 50|}{\sqrt{10^2 + 15^2 + 15^2}} = \frac{|10 + 15 + 30 - 50|}{\sqrt{100 + 225 + 225}} = \frac{|5|}{\sqrt{550}} = \frac{5}{\sqrt{550}} = \frac{\sqrt{22}}{22}
\]

### Шаг 3: Объем пирамиды
Формула для объёма пирамиды:
\[
V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h
\]
Где \( S_{ABC} = \frac{5\sqrt{22}}{2} \), а высота \( h = \frac{\sqrt{22}}{22} \).

Подставляем:
\[
V = \frac{1}{3} \cdot \frac{5\sqrt{22}}{2} \cdot \frac{\sqrt{22}}{22} = \frac{1}{3} \cdot \frac{5 \cdot 22}{2 \cdot 22} = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{6}
\]

Ответ: объем пирамиды \( V = \frac{5}{6} \).

Хочешь узнать больше деталей или у тебя есть вопросы?

Вот 5 связанных вопросов:
1. Как найти координаты высоты пирамиды, если известны все вершины?
2. Какие свойства векторного произведения можно использовать для нахождения площадей?
3. Как вывести уравнение плоскости через нормальный вектор и точку?
4. Как изменится объём пирамиды, если одна из координат точки изменится?
5. Почему расстояние до плоскости можно вычислить по формуле для точки и плоскости?

**Совет**: всегда проверяй правильность вычислений для векторов, так как ошибки могут сильно повлиять на результат.

Вычислить объем пирамиды, вершины которой находятся в точках O(1,1,2), A(2,3,-1), B(2,-2,4), C(-1,1,3), и высоту, опущенную из точки O на грань ABC.

Узнайте, как найти объем пирамиды с вершинами O(1,1,2), A(2,3,-1), B(2,-2,4), C(-1,1,3) и высотой, опущенной из точки O на плоскость, содержащую треугольник ABC. Решение включает нахождение площади треугольника с помощью векторного произведения и высоты пирамиды через расстояние от точки до плоскости. Подробное пошаговое решение для учеников 10-12 классов.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation