Soal ini meminta untuk mencari vektor satuan yang tegak lurus pada dua vektor yang diberikan, yaitu:

$A = 2\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - \mathbf{k}$ dan $B = \mathbf{i} + 4\mathbf{j} - 2\mathbf{k}$

Langkah-langkah untuk menyelesaikan:

1. Cari vektor hasil perkalian silang (cross product) antara $A$ dan $B$

Vektor yang tegak lurus pada dua vektor dapat diperoleh dari perkalian silang kedua vektor tersebut. Misalkan hasil perkalian silang dari $A$ dan $B$ adalah $C$. Rumus perkalian silang untuk dua vektor $A = (A_x, A_y, A_z)$ dan $B = (B_x, B_y, B_z)$ adalah:

$C = A \times B = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}$

Untuk vektor $A = 2\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - \mathbf{k}$, kita bisa menuliskan komponen-komponennya sebagai:

$A = (2, -3, -1)$

Dan untuk vektor $B = \mathbf{i} + 4\mathbf{j} - 2\mathbf{k}$, komponen-komponennya adalah:

$B = (1, 4, -2)$

Sekarang kita lakukan perkalian silang $A \times B$:

$A \times B = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -3 & -1 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix}$

Hitung determinan:

$A \times B = \mathbf{i} \begin{vmatrix} -3 & -1 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix}$

Lanjutkan dengan menghitung masing-masing determinan minor:

$\mathbf{i}: (-3)(-2) - (-1)(4) = 6 - (-4) = 6 + 4 = 10$ $\mathbf{j}: (2)(-2) - (-1)(1) = -4 - (-1) = -4 + 1 = -3$ $\mathbf{k}: (2)(4) - (-3)(1) = 8 - (-3) = 8 + 3 = 11$

Sehingga:

$A \times B = 10\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 11\mathbf{k}$

Vektor yang tegak lurus pada $A$ dan $B$ adalah:

$C = 10\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 11\mathbf{k}$

2. Cari vektor satuan

Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang 1. Untuk mendapatkan vektor satuan, kita harus membagi vektor $C$ dengan panjangnya. Panjang vektor $C$ dihitung dengan rumus:

$|C| = \sqrt{C_x^2 + C_y^2 + C_z^2}$

Dimana $C_x = 10$, $C_y = 3$, dan $C_z = 11$, sehingga:

$|C| = \sqrt{10^2 + 3^2 + 11^2} = \sqrt{100 + 9 + 121} = \sqrt{230}$

Sekarang, bagilah setiap komponen $C$ dengan panjang $|C|$ untuk mendapatkan vektor satuan:

$\hat{C} = \left( \frac{10}{\sqrt{230}}, \frac{3}{\sqrt{230}}, \frac{11}{\sqrt{230}} \right)$

Jadi, vektor satuan yang tegak lurus pada $A$ dan $B$ adalah:

$\hat{C} = \frac{10}{\sqrt{230}}\mathbf{i} + \frac{3}{\sqrt{230}}\mathbf{j} + \frac{11}{\sqrt{230}}\mathbf{k}$

Kesimpulan:

Vektor satuan yang tegak lurus pada vektor $A$ dan $B$ adalah:

$\hat{C} = \frac{10}{\sqrt{230}}\mathbf{i} + \frac{3}{\sqrt{230}}\mathbf{j} + \frac{11}{\sqrt{230}}\mathbf{k}$

Apakah ada bagian yang ingin Anda tanyakan lebih lanjut? Berikut beberapa soal terkait:

1. Bagaimana cara menghitung perkalian silang untuk dua vektor dalam dimensi yang lebih tinggi?
2. Apa yang dimaksud dengan vektor satuan dan bagaimana kegunaannya dalam fisika?
3. Apa perbedaan antara perkalian silang dan perkalian titik (dot product)?
4. Bagaimana cara menggunakan konsep vektor tegak lurus dalam sistem koordinat 3D?
5. Bagaimana cara menentukan sudut antara dua vektor menggunakan perkalian titik?

Tip: Selalu pastikan untuk membedakan antara perkalian titik dan perkalian silang karena hasilnya memberikan informasi yang berbeda tentang hubungan antara dua vektor.