Carilah vektor satuan yang tegak lurus pada A = 2i - 3j – k dan B = i + 4j – 2k

Untuk mencari vektor satuan yang tegak lurus pada dua vektor \( \mathbf{A} \) dan \( \mathbf{B} \), kita perlu melakukan langkah-langkah berikut:

1. **Cari vektor perkalian silang** \( \mathbf{A} \times \mathbf{B} \) dari dua vektor tersebut, karena hasil dari perkalian silang dua vektor menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor awal.

2. **Normalisasi vektor hasil perkalian silang** untuk mendapatkan vektor satuan yang tegak lurus.

Diberikan:
\[
\mathbf{A} = 2\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k}
\]
\[
\mathbf{B} = \hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}
\]

### 1. Hitung perkalian silang \( \mathbf{A} \times \mathbf{B} \)

Perkalian silang dua vektor \( \mathbf{A} \) dan \( \mathbf{B} \) dihitung dengan determinan dari matriks berikut:

\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \begin{vmatrix} 
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
2 & -3 & -1 \\
1 & 4 & -2 \\
\end{vmatrix}
\]

Hitung determinan:

\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \hat{i} \begin{vmatrix} -3 & -1 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix}
\]

\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \hat{i}((-3)(-2) - (-1)(4)) - \hat{j}((2)(-2) - (-1)(1)) + \hat{k}((2)(4) - (-3)(1))
\]

\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \hat{i}(6 + 4) - \hat{j}(-4 + 1) + \hat{k}(8 + 3)
\]

\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \hat{i}(10) - \hat{j}(-3) + \hat{k}(11)
\]

\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = 10\hat{i} + 3\hat{j} + 11\hat{k}
\]

### 2. Normalisasi vektor hasil perkalian silang

Untuk mendapatkan vektor satuan, kita perlu membagi vektor hasil perkalian silang dengan panjang (magnitude)-nya. Panjang vektor \( \mathbf{A} \times \mathbf{B} \) adalah:

\[
|\mathbf{A} \times \mathbf{B}| = \sqrt{(10)^2 + (3)^2 + (11)^2}
\]

\[
|\mathbf{A} \times \mathbf{B}| = \sqrt{100 + 9 + 121} = \sqrt{230}
\]

Vektor satuan yang tegak lurus adalah:

\[
\hat{n} = \frac{1}{\sqrt{230}}(10\hat{i} + 3\hat{j} + 11\hat{k})
\]

Jadi, vektor satuan yang tegak lurus terhadap vektor \( \mathbf{A} \) dan \( \mathbf{B} \) adalah:

\[
\hat{n} = \frac{10}{\sqrt{230}}\hat{i} + \frac{3}{\sqrt{230}}\hat{j} + \frac{11}{\sqrt{230}}\hat{k}
\]

Apakah penjelasan ini cukup jelas atau Anda ingin rincian lebih lanjut?

### Pertanyaan Lanjutan:
1. Bagaimana cara menghitung perkalian titik (dot product) dari dua vektor?
2. Apa sifat-sifat vektor satuan dalam ruang tiga dimensi?
3. Mengapa vektor hasil perkalian silang selalu tegak lurus terhadap kedua vektor awal?
4. Bagaimana cara menentukan sudut antara dua vektor?
5. Apa perbedaan antara perkalian titik dan perkalian silang?

### Tip:
Dalam ruang tiga dimensi, hasil perkalian silang dari dua vektor selalu menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh kedua vektor awal.

Carilah vektor satuan yang tegak lurus pada A = 2i - 3j - k dan B = i + 4j - 2k

Learn how to find the unit vector orthogonal to two vectors A = 2i - 3j - k and B = i + 4j - 2k through cross product and normalization. This solution covers vector algebra concepts and is suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation