Carilah vektor satuan yang tegak lurus pada A = 2i - 3j – k dan B = i + 4j – 2k

Untuk mencari **vektor satuan** yang tegak lurus pada dua vektor \( \mathbf{A} \) dan \( \mathbf{B} \), kita perlu:

1. Mencari **vektor hasil perkalian silang** dari vektor \( \mathbf{A} \) dan \( \mathbf{B} \), karena vektor hasil perkalian silang akan tegak lurus terhadap kedua vektor.
2. Menghitung **vektor satuan** dari hasil perkalian silang dengan cara membagi hasil perkalian silang dengan panjang (magnitudo) vektor tersebut.

Diberikan vektor \( \mathbf{A} = 2i - 3j - k \) dan \( \mathbf{B} = i + 4j - 2k \), kita akan mulai dengan langkah pertama.

### 1. Perkalian Silang Vektor \( \mathbf{A} \) dan \( \mathbf{B} \)

Vektor \( \mathbf{A} = 2i - 3j - k \) dan \( \mathbf{B} = i + 4j - 2k \) ditulis dalam komponen sebagai:

\[
\mathbf{A} = (2, -3, -1)
\]
\[
\mathbf{B} = (1, 4, -2)
\]

Perkalian silang \( \mathbf{A} \times \mathbf{B} \) diberikan oleh:

\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \begin{vmatrix} 
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & -3 & -1 \\
1 & 4 & -2 
\end{vmatrix}
\]

Hitung determinan ini:

\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \mathbf{i} \left( (-3)(-2) - (-1)(4) \right) - \mathbf{j} \left( (2)(-2) - (-1)(1) \right) + \mathbf{k} \left( (2)(4) - (-3)(1) \right)
\]
\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \mathbf{i}(6 - (-4)) - \mathbf{j}(-4 - (-1)) + \mathbf{k}(8 + 3)
\]
\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \mathbf{i}(6 + 4) - \mathbf{j}(-4 + 1) + \mathbf{k}(8 + 3)
\]
\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = 10\mathbf{i} - (-3\mathbf{j}) + 11\mathbf{k}
\]
\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = 10\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 11\mathbf{k}
\]

Jadi, vektor tegak lurus adalah \( \mathbf{A} \times \mathbf{B} = 10\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 11\mathbf{k} \).

### 2. Vektor Satuan

Untuk mendapatkan vektor satuan, kita harus membagi vektor hasil perkalian silang dengan panjangnya. Panjang (magnitudo) dari \( \mathbf{A} \times \mathbf{B} \) adalah:

\[
|\mathbf{A} \times \mathbf{B}| = \sqrt{10^2 + 3^2 + 11^2} = \sqrt{100 + 9 + 121} = \sqrt{230}
\]

Sehingga, vektor satuan \( \mathbf{u} \) adalah:

\[
\mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt{230}} (10\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 11\mathbf{k})
\]

Jadi, vektor satuan yang tegak lurus pada \( \mathbf{A} \) dan \( \mathbf{B} \) adalah:

\[
\mathbf{u} = \frac{10}{\sqrt{230}}\mathbf{i} + \frac{3}{\sqrt{230}}\mathbf{j} + \frac{11}{\sqrt{230}}\mathbf{k}
\]

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut tentang langkah-langkah ini? 

**Pertanyaan terkait:**
1. Bagaimana cara menentukan vektor tegak lurus dari dua vektor lain yang diketahui?
2. Bagaimana cara menghitung panjang atau magnitudo suatu vektor?
3. Apa perbedaan antara perkalian silang dan perkalian dot (skalar)?
4. Kapan vektor satuan biasanya digunakan dalam fisika atau matematika?
5. Bagaimana cara menemukan vektor satuan jika hanya satu vektor yang diketahui?

**Tip**: Untuk vektor satuan, pastikan magnitudo selalu bernilai 1, karena ini mendefinisikan bahwa vektor tersebut hanyalah arah tanpa besaran panjang.

Learn how to calculate the unit vector that is perpendicular to two vectors A = 2i - 3j – k and B = i + 4j – 2k. This problem covers key vector algebra concepts, including cross product calculation and unit vector formation. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation