uniforme convergence de sin(x/n) on [0, 2pi], fait un tableau de variation

Pour étudier la convergence uniforme de la fonction \( f_n(x) = \sin\left(\frac{x}{n}\right) \) sur l'intervalle \( [0, 2\pi] \), procédons par étapes en analysant la convergence ponctuelle, la dérivée et en construisant un tableau de variation.

### Étape 1 : Convergence ponctuelle
Pour chaque point \( x \in [0, 2\pi] \), la fonction \( f_n(x) \) tend vers 0 lorsque \( n \) tend vers l'infini :

\[
\lim_{n \to \infty} \sin\left(\frac{x}{n}\right) = \sin(0) = 0.
\]

Donc, la fonction \( f_n(x) \) converge ponctuellement vers 0 sur \( [0, 2\pi] \).

### Étape 2 : Uniformité de la convergence
Nous cherchons à voir si la convergence est uniforme. On commence par majorer la différence entre \( f_n(x) \) et la fonction limite, qui est ici \( f(x) = 0 \):

\[
|f_n(x) - 0| = |\sin\left(\frac{x}{n}\right)|.
\]

Puisque \( |\sin(y)| \leq |y| \) pour tout \( y \in \mathbb{R} \), on a :

\[
|\sin\left(\frac{x}{n}\right)| \leq \frac{x}{n}.
\]

Sur l'intervalle \( [0, 2\pi] \), \( x \in [0, 2\pi] \), donc :

\[
|\sin\left(\frac{x}{n}\right)| \leq \frac{2\pi}{n}.
\]

Cela tend vers 0 indépendamment de \( x \), ce qui montre que la convergence est uniforme sur \( [0, 2\pi] \).

### Étape 3 : Calcul de la dérivée de \( f_n(x) \)
Pour dresser un tableau de variation, nous calculons la dérivée de \( f_n(x) \) :

\[
f_n'(x) = \frac{d}{dx} \sin\left(\frac{x}{n}\right) = \frac{1}{n} \cos\left(\frac{x}{n}\right).
\]

### Étape 4 : Analyse des variations
- La fonction \( \cos\left(\frac{x}{n}\right) \) oscille entre -1 et 1.
- Le signe de \( f_n'(x) \) dépend du signe de \( \cos\left(\frac{x}{n}\right) \).
- Lorsque \( \cos\left(\frac{x}{n}\right) > 0 \), \( f_n(x) \) est croissante.
- Lorsque \( \cos\left(\frac{x}{n}\right) < 0 \), \( f_n(x) \) est décroissante.

### Tableau de variation
Sur l'intervalle \( [0, 2\pi] \), la fonction \( f_n(x) \) a les mêmes propriétés d'oscillation que \( \cos\left(\frac{x}{n}\right) \), mais de plus en plus atténuées à mesure que \( n \) augmente.

| \( x \)      | 0                | \( n\pi \)       | \( 2n\pi \)     |
|--------------|------------------|------------------|-----------------|
| \( f_n'(x) \) | \( + \)          | \( 0 \)          | \( 0 \)         |
| \( f_n(x) \)  | \( 0 \)          | croissante       | décroissante    |

### Conclusion
- \( f_n(x) = \sin\left(\frac{x}{n}\right) \) converge uniformément vers 0 sur \( [0, 2\pi] \).
- Le tableau de variation montre une oscillation de plus en plus amortie, avec des extrema qui s'atténuent à mesure que \( n \to \infty \).

Est-ce que tu veux des détails supplémentaires ? Voici 5 questions pour aller plus loin :

1. Quelle est la définition formelle de la convergence uniforme ?
2. Comment utiliser le critère de Cauchy pour la convergence uniforme ?
3. Comment montrer la convergence uniforme pour d'autres fonctions trigonométriques ?
4. Pourquoi est-il important de vérifier la convergence uniforme dans l'intégration et la dérivation ?
5. Quels autres types de convergence peuvent être étudiés pour cette fonction ?

**Tip :** Lorsqu'une fonction converge uniformément, cela garantit que des opérations comme l'intégration et la dérivation peuvent être échangées avec la limite.

Explore the uniform convergence of the function sin(x/n) on the interval [0, 2π] with a detailed analysis of its variation. This solution covers key concepts such as uniform convergence, trigonometric function limits, and the computation of derivatives, providing insights suitable for undergraduate mathematics students.

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