bestäm värdemängd defenitionsmängd och nollställen för funktionen y=x^(3/4)

För att bestämma definitionsmängden, värdemängden och nollställen för funktionen \( y = x^{3/4} \), låt oss analysera varje del:

### 1. Definitionsmängd:
Definitionsmängden (mängden av \( x \)-värden som funktionen är definierad för) beror på funktionen \( x^{3/4} \). Eftersom vi tar roten av ett tal när exponenten är en bråkdel (4:e roten ur \( x \)) och upphöjer till 3, måste vi kontrollera vad som är tillåtet.

- För icke-negativa \( x \) (dvs. \( x \geq 0 \)), är funktionen definierad eftersom vi kan ta 4:e roten ur ett positivt tal och 0. 
- För negativa \( x \), \( x^{3/4} \) innebär att vi tar roten ur ett negativt tal, vilket inte är definierat för reella tal.

**Slutsats:**
Definitionsmängden är \( x \geq 0 \), vilket innebär att \( D = [0, \infty) \).

### 2. Värdemängd:
Värdemängden är mängden av alla möjliga \( y \)-värden som funktionen kan anta. 

- För \( x = 0 \), är \( y = 0^{3/4} = 0 \).
- För \( x > 0 \), \( x^{3/4} \) är alltid positivt eftersom 4:e roten ur ett tal alltid ger ett positivt resultat (eller 0), och upphöjningen till 3 påverkar bara storleken, men inte tecknet.

Eftersom \( y \) aldrig kan bli negativt men kan anta alla positiva värden, är värdemängden:

**Värdemängden:** \( W = [0, \infty) \).

### 3. Nollställen:
Nollställena är de punkter där funktionen antar värdet 0, dvs. där \( y = 0 \).

För att hitta nollställena, sätt \( y = x^{3/4} = 0 \). Denna ekvation är sann om och endast om \( x = 0 \).

**Slutsats:**
Funktionen har ett nollställe vid \( x = 0 \).

---

### Sammanfattning:
1. **Definitionsmängd:** \( [0, \infty) \)
2. **Värdemängd:** \( [0, \infty) \)
3. **Nollställe:** \( x = 0 \)

Har du några frågor eller vill du ha mer detaljerad förklaring? 

Här är fem relaterade frågor:
1. Hur bestämmer man definitionsmängden för andra potensexponenter?
2. Hur påverkas värdemängden om exponenten ändras till \( \frac{1}{2} \)?
3. Vad händer med funktionen \( y = x^{3/4} \) om vi låter \( x \) vara ett komplext tal?
4. Hur ser grafen ut för \( y = x^{3/4} \)?
5. Hur kan vi algebraiskt verifiera att \( x = 0 \) är det enda nollstället?

**Tips:** När du arbetar med potensexponenter är det alltid bra att undersöka om exponenten tillåter negativa tal, eftersom detta ofta påverkar definitionsmängden.

Explore the domain, range, and roots of the function y = x^(3/4). Learn about the mathematical properties involving exponentiation and roots. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation