Для записи комплексного числа $-3 - i$ в тригонометрической форме, нужно выполнить следующие шаги:

1. Определим модуль (или абсолютное значение) комплексного числа:

$r = |z| = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

2. Найдем аргумент (или угол) этого комплексного числа. Аргумент можно найти с использованием функции арктангенса, но нужно учитывать, в какой четверти находится число. Комплексное число $-3 - i$ лежит в третьей четверти, так как его действительная и мнимая части отрицательны.

Используем формулу для аргумента:

$\theta = \arg(z) = \arctan\left(\frac{\text{мнимая часть}}{\text{действительная часть}}\right) = \arctan\left(\frac{-1}{-3}\right) = \arctan\left(\frac{1}{3}\right)$

Однако это значение дает угол в первой четверти, а нам нужно добавить $\pi$ (или $180^\circ$), так как точка находится в третьей четверти.

$\theta = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi$

Численно, $\arctan\left(\frac{1}{3}\right) \approx 0.3218$, значит:

$\theta \approx 0.3218 + \pi \approx 3.4634 \, \text{рад}$

3. Запишем комплексное число в тригонометрической форме:

$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$

Подставляем значения:

$z = \sqrt{10} \left( \cos(3.4634) + i \sin(3.4634) \right)$

Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа $-3 - i$ выглядит так:

$z = \sqrt{10} \left( \cos(3.4634) + i \sin(3.4634) \right)$

Если у вас есть дополнительные вопросы или хотите уточнить детали, я готов помочь.

Вот несколько вопросов, которые могут быть интересны:

1. Как найти аргумент комплексного числа, если оно находится в другой четверти?
2. Что такое модуль и аргумент комплексного числа?
3. Как преобразовать тригонометрическую форму в алгебраическую форму комплексного числа?
4. Что такое форма Эйлера для комплексных чисел?
5. Как решить уравнение с комплексными числами?

Совет: Для точного вычисления углов всегда проверяйте, в какой четверти находится ваше комплексное число.