Math Problem Statement

Запишите в тригонометрической форме комплексное число -3-i

Solution

Чтобы записать комплексное число 3i-3 - i в тригонометрической форме, нужно выполнить следующие шаги.

  1. Найдем модуль комплексного числа:

    Модуль rr комплексного числа z=x+iyz = x + iy вычисляется по формуле: r=x2+y2r = \sqrt{x^2 + y^2} В нашем случае x=3x = -3 и y=1y = -1, поэтому: r=(3)2+(1)2=9+1=10r = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}

  2. Найдем аргумент комплексного числа:

    Аргумент θ\theta вычисляется как: θ=arg(z)=tan1(yx)\theta = \arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) Для нашего случая x=3x = -3, y=1y = -1, значит: θ=tan1(13)=tan1(13)\theta = \tan^{-1}\left(\frac{-1}{-3}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) Однако важно учитывать, что комплексное число находится в третьем квадранте (так как обе координаты отрицательны), и, следовательно, аргумент будет: θ=π+tan1(13)\theta = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) Для вычисления значения арктангенса можно воспользоваться калькулятором: tan1(13)0.32175\tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \approx 0.32175 Таким образом: θπ+0.321753.46334\theta \approx \pi + 0.32175 \approx 3.46334

  3. Запишем комплексное число в тригонометрической форме:

    Тригонометрическая форма комплексного числа: z=r(cosθ+isinθ)z = r (\cos \theta + i \sin \theta) Подставим найденные значения: z=10(cos(3.46334)+isin(3.46334))z = \sqrt{10} \left( \cos(3.46334) + i \sin(3.46334) \right)

Таким образом, комплексное число 3i-3 - i в тригонометрической форме записывается как: z=10(cos(3.46334)+isin(3.46334))z = \sqrt{10} \left( \cos(3.46334) + i \sin(3.46334) \right)

Хотите ли вы получить дополнительное объяснение или помощь с другими вопросами? Вот несколько примеров, которые могут вас заинтересовать:

  1. Как перевести тригонометрическую форму в алгебраическую?
  2. Как вычислить аргумент комплексного числа, если оно находится в другом квадранте?
  3. Какие особенности тригонометрической формы для комплексных чисел в разных квадрантах?
  4. Как использовать тригонометрическую форму для умножения или деления комплексных чисел?
  5. Почему тригонометрическая форма удобна при решении уравнений с комплексными числами?

Совет: Используйте калькулятор для вычисления углов и арктангенсов с точностью до нескольких знаков после запятой, чтобы получить более точные значения.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Complex Numbers
Trigonometric Form of Complex Numbers
Modulus of Complex Numbers
Argument of Complex Numbers

Formulas

Modulus formula: r = √(x² + y²)
Argument formula: θ = tan⁻¹(y/x) or θ = π + tan⁻¹(y/x) in third quadrant
Trigonometric form of a complex number: z = r (cos(θ) + i sin(θ))

Theorems

Euler's formula
Complex number representation in polar/trigonometric form

Suitable Grade Level

Grades 10-12