Escribe los siguines complejos en su forma trigonométrica ( - 3 / 2, -5 /2 )

Dado el número complejo \( z = -\frac{3}{2} - \frac{5}{2}i \), primero necesitamos expresar este número complejo en su forma trigonométrica, que es:

\[
z = r (\cos \theta + i \sin \theta)
\]

### Pasos:

1. **Encontrar el módulo \( r \)**:
   El módulo de un número complejo \( z = a + bi \) es:

   \[
   r = \sqrt{a^2 + b^2}
   \]

   Donde \( a = -\frac{3}{2} \) y \( b = -\frac{5}{2} \), entonces:

   \[
   r = \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{5}{2}\right)^2}
   = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{25}{4}}
   = \sqrt{\frac{34}{4}}
   = \frac{\sqrt{34}}{2}
   \]

2. **Encontrar el ángulo \( \theta \)**:
   El argumento de un número complejo \( z = a + bi \) es:

   \[
   \theta = \tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\right)
   \]

   Entonces:

   \[
   \theta = \tan^{-1} \left(\frac{-\frac{5}{2}}{-\frac{3}{2}}\right)
   = \tan^{-1} \left(\frac{5}{3}\right)
   \]

   El ángulo \( \theta \) es aproximadamente:

   \[
   \theta \approx \tan^{-1} \left(\frac{5}{3}\right) \approx 59.04^\circ
   \]

   Como el número complejo se encuentra en el tercer cuadrante (ambos \( a \) y \( b \) son negativos), debemos sumar \( 180^\circ \) al ángulo:

   \[
   \theta = 180^\circ + 59.04^\circ = 239.04^\circ
   \]

   O en radianes:

   \[
   \theta \approx 4.17 \, \text{rad}
   \]

### Forma trigonométrica:

Por lo tanto, la forma trigonométrica del número complejo es:

\[
z = \frac{\sqrt{34}}{2} \left( \cos 239.04^\circ + i \sin 239.04^\circ \right)
\]

¿Te gustaría más detalles o alguna explicación adicional?

---

Preguntas relacionadas:

1. ¿Qué es el argumento de un número complejo?
2. ¿Cómo se convierte un número complejo de forma polar a forma cartesiana?
3. ¿Cuál es la relación entre la forma polar y la forma exponencial de un número complejo?
4. ¿Cómo afecta el cuadrante en el cálculo del ángulo de un número complejo?
5. ¿Por qué el módulo de un número complejo siempre es positivo?

**Tip:** Recuerda que los ángulos en trigonometría compleja pueden expresarse en grados o radianes, pero es más común usar radianes en matemáticas avanzadas.

Escribe los siguientes complejos en su forma trigonométrica (-3/2, -5/2)

Learn how to convert the complex number (-3/2, -5/2) into its trigonometric form step-by-step. This solution covers key concepts like modulus, argument, and the trigonometric representation of complex numbers. Suitable for students in Grades 10-12.

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