1辺の長さが20cmの正方形ABCDがあります。点Pは、辺 AB上を毎秒2cmの速さでAからBまで動き、点Qは、線分EC 上を毎秒1cmの速さで辺BCの中点EからCまで動きます。この とき、△PBQの面積が64cm²になるのは、出発してから何秒後で すか。

問題の概要は、次のようになります：

- 正方形 \( ABCD \) の1辺の長さは 20 cm。
- 点 \( P \) は、辺 \( AB \) 上を毎秒 2 cm で、点 \( A \) から点 \( B \) まで動く。
- 点 \( Q \) は、線分 \( EC \) 上を毎秒 1 cm で、点 \( E \)（辺 \( BC \) の中点、したがって \( E \) の位置は \( B \) から 10 cm のところ）から点 \( C \) まで動く。

点 \( P \) が辺 \( AB \) 上を動き、点 \( Q \) が線分 \( EC \) 上を動いている状況で、三角形 \( \triangle PBQ \) の面積が 64 cm² になるのは何秒後かを求めます。

### 点の位置の設定
1. 点 \( P \) が辺 \( AB \) 上を動く場合、時刻 \( t \) 秒後の点 \( P \) の座標は、\( P(t) = (2t, 0) \) です。ここで、\( t \) は時間（秒）です。
2. 点 \( Q \) が線分 \( EC \) 上を動く場合、時刻 \( t \) 秒後の点 \( Q \) の座標は、\( Q(t) = (10, t) \) です。点 \( E \) は点 \( B \) と点 \( C \) の中点です。

### 三角形の面積
三角形の頂点 \( P(x_1, y_1) \)、\( B(x_2, y_2) \)、\( Q(x_3, y_3) \) に対して、三角形の面積 \( S \) は次の公式で表せます：

\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
\]

ここで、点 \( P \) の座標 \( (2t, 0) \)、点 \( B \) の座標 \( (20, 0) \)、点 \( Q \) の座標 \( (10, t) \) を代入して、三角形の面積を 64 cm² とします。

\[
\frac{1}{2} \left| 2t(0 - t) + 20(t - 0) + 10(0 - 0) \right| = 64
\]

この式を解くと、時刻 \( t \) を求めることができます。

\[
\frac{1}{2} \left| -2t^2 + 20t \right| = 64
\]

まず両辺に2をかけて絶対値を取り除くと、

\[
\left| -2t^2 + 20t \right| = 128
\]

よって、次の2つの式を解きます。

1. \( -2t^2 + 20t = 128 \)
2. \( -2t^2 + 20t = -128 \)

これを解いてみましょう。解いた結果、2つの式のうち、実数解が得られるのは次のものです：

1. \( t = 5 - \sqrt{89} \)  は負の時間となるため、不適切です。
2. \( t = 5 + \sqrt{89} \) 秒。

したがって、正確な解は \( 5 + \sqrt{89} \) 秒後、約 **14.44秒後** に三角形 \( \triangle PBQ \) の面積が64 cm²になります。

質問や詳細な説明が必要ですか？それとも他の問題に進みますか？

### 追加の関連質問：
1. 三角形の面積公式の別の例を知りたいですか？
2. 他の点の動き方でも三角形の面積が64cm²になるケースを考えられますか？
3. 変数の扱いについてより深く理解したいですか？
4. 線分の中点と動きの関係性をもう少し詳しく説明しましょうか？
5. 動点問題における別の典型的な例を見てみますか？

### 1つのTip：
三角形の面積を求める公式は、幾何的な図形を扱う際、座標の変化による面積の変化を素早く計算できる便利なツールです。

1辺の長さが20cmの正方形ABCDがあります。点Pは、辺 AB上を毎秒2cmの速さでAからBまで動き、点Qは、線分EC 上を毎秒1cmの速さで辺BCの中点EからCまで動きます。この とき、△PBQの面積が64cm²になるのは、出発してから何秒後ですか。

Explore how to solve a triangle area problem in coordinate geometry involving moving points on a square. This solution covers kinematics, quadratic equations, and the formula for the area of a triangle with coordinates. Suitable for students in Grades 10-12.

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