Обозначим трёхзначное число, которое написал учитель, как $N = 100a + 10b + c$, где:

• $a$ — первая цифра числа,
• $b$ — вторая цифра,
• $c$ — третья цифра.

Шаг 1. Описание операции Вячеслава

Вячеслав умножил число на 3 и добавил к результату первую цифру исходного числа: $3N + a = 3(100a + 10b + c) + a = 300a + 30b + 3c + a = 301a + 30b + 3c.$

Шаг 2. Описание операции Ярослава

Ярослав зачеркнул первую цифру числа и записал в конец какую-то другую цифру. Пусть эта цифра — $d$. После этого число Ярослава стало: 10b + c \quad \text{(новое число после удаления первой цифры и добавления d в конец)}. Теперь Ярослав записал это число с цифрой $d$ в конец: $10b + c + d.$

Шаг 3. Условие равенства

Вячеслав и Ярослав получили одинаковые числа, то есть: $301a + 30b + 3c = 10b + c + d.$ Преобразуем это уравнение: $301a + 30b + 3c - 10b - c = d,$ $301a + 20b + 2c = d.$ Таким образом, $d$ — это число, равное $301a + 20b + 2c$.

Шаг 4. Ограничения на $d$

Цифра $d$ должна быть одной из цифр от 0 до 9, то есть: $0 \leq 301a + 20b + 2c \leq 9.$

Теперь проверим, при каких значениях $a$, $b$, и $c$ выполняется это неравенство.

Шаг 5. Перебор значений

1. Если $a = 1$:

   • $301 \times 1 + 20b + 2c = 301 + 20b + 2c$.
   • Чтобы $301 + 20b + 2c \leq 9$, это невозможно, так как 301 слишком велико.

2. Если $a = 0$:

   • $301 \times 0 + 20b + 2c = 20b + 2c$.
   • Тогда $0 \leq 20b + 2c \leq 9$.

Для значений $b$ и $c$, удовлетворяющих этому ограничению:

• Если $b = 0$, то $2c \leq 9$, и $c = 0, 1, 2, 3, 4$.
• Если $b = 1$, то $20 + 2c \leq 9$ — невозможное условие.
• Если $b = 2$, то $40 + 2c \leq 9$ — также невозможное условие.

Таким образом, единственные возможные значения для $b = 0$ и $c = 0, 1, 2, 3, 4$.

Ответ:

Могут быть следующие числа: 000, 001, 002, 003, 004.

Дополнительные вопросы:

1. Что происходит, если попробовать другое значение для $a$?
2. Как можно решить подобную задачу для четырёхзначного числа?
3. Как изменится решение задачи, если Вячеслав умножит число не на 3, а на 2?
4. Какие другие способы преобразования чисел можно использовать в подобных задачах?
5. В чем заключается логика при определении диапазона возможных значений $d$?

Совет: В подобных задачах всегда полезно внимательно проверять все ограничения на возможные значения цифр, чтобы исключить невозможные решения.