Имаме векторната функция на кривата:

$\mathbf{r}(t) = t \cos(t) \, \mathbf{i} + t \sin(t) \, \mathbf{j}$

и трябва да намерим уравнението на допирателната в точката при $t = \pi$.

Стъпки за решаване:

1. Намираме позицията на точката: За $t = \pi$, ще пресметнем стойността на векторната функция.

$\mathbf{r}(\pi) = \pi \cos(\pi) \, \mathbf{i} + \pi \sin(\pi) \, \mathbf{j}$ Тъй като $\cos(\pi) = -1$ и $\sin(\pi) = 0$, получаваме: $\mathbf{r}(\pi) = \pi \cdot (-1) \, \mathbf{i} + \pi \cdot 0 \, \mathbf{j} = -\pi \, \mathbf{i}$ Това е точката на кривата $\mathbf{r}(\pi) = (-\pi, 0)$.

2. Намираме допирателния вектор: Допирателният вектор е първоначалната производна на векторната функция $\mathbf{r}(t)$, така че ще вземем производната на $\mathbf{r}(t)$:

$\mathbf{r}'(t) = \frac{d}{dt} \left( t \cos(t) \, \mathbf{i} + t \sin(t) \, \mathbf{j} \right)$

Използваме производната на произведение:

$\mathbf{r}'(t) = \left( \cos(t) - t \sin(t) \right) \, \mathbf{i} + \left( \sin(t) + t \cos(t) \right) \, \mathbf{j}$

За $t = \pi$:

[ \mathbf{r}'(\pi) = \left( \cos(\pi) - \pi \sin(\pi) \right) , \mathbf{i} + \left( \sin(\pi)