On considère l'ensemble suivant :

$E = \left\{ (-1)^n + \frac{1}{n^2} \mid n \in \mathbb{N}^* \right\}$

1. Étudions les termes de $E$

Les éléments de $E$ prennent la forme :

• Pour $n$ impair ($n = 2k+1$) :
  $(-1)^n + \frac{1}{n^2} = -1 + \frac{1}{n^2}$ Ces valeurs sont strictement inférieures à $-1$, mais tendent vers $-1$ lorsque $n \to \infty$.

• Pour $n$ pair ($n = 2k$) :
  $(-1)^n + \frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{n^2}$ Ces valeurs sont strictement supérieures à $1$, mais tendent vers $1$ lorsque $n \to \infty$.

2. Détermination du $\sup E$

L'ensemble $E$ contient donc une suite de valeurs alternant autour de $\pm 1$, mais toujours légèrement décalées de $\frac{1}{n^2}$.

Le maximum de ces valeurs se produit pour $n = 2$ : $1 + \frac{1}{2^2} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ Pour $n > 2$, les valeurs $1 + \frac{1}{n^2}$ sont plus petites que $\frac{5}{4}$.

Ainsi,
$\sup E = \frac{5}{4}$

Conclusion :

$\sup E = \frac{5}{4}$

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Avez-vous des questions ou souhaitez-vous des précisions ?

Voici quelques questions pour approfondir :

1. Comment montrer rigoureusement que $\sup E = \frac{5}{4}$ ?
2. Pourquoi la borne supérieure de $E$ ne peut-elle pas être $1$ ?
3. Peut-on déterminer $\inf E$ avec la même méthode ?
4. Que se passe-t-il si on change la définition de $E$ en remplaçant $1/n^2$ par $1/n$ ?
5. Peut-on généraliser cette approche à d'autres ensembles définis de manière similaire ?

🔢 Astuce : Toujours examiner les limites des termes extrêmes pour trouver $\sup$ et $\inf$.