Untuk menentukan limit superior ($\limsup a_n$) dan limit inferior ($\liminf a_n$) dari barisan $(a_n)$, kita perlu menganalisis sifat-sifat limit supremum dan limit infimum dari barisan tersebut.

Barisan yang diberikan:

$a_n = (-1)^{n+1} + \frac{1}{n^2 + 1}$ Barisan ini terdiri dari dua bagian:

1. $(-1)^{n+1}$: bagian osilasi yang berganti tanda antara $-1$ dan $+1$.
2. $\frac{1}{n^2 + 1}$: bagian yang positif dan menuju 0 saat $n \to \infty$.

Sifat-sifat penting dari $(a_n)$:

• Untuk $n$ ganjil, $(-1)^{n+1} = 1$ sehingga $a_n = 1 + \frac{1}{n^2 + 1}$.
• Untuk $n$ genap, $(-1)^{n+1} = -1$ sehingga $a_n = -1 + \frac{1}{n^2 + 1}$.

Analisis:

• Bagian $\frac{1}{n^2 + 1}$ selalu positif tetapi mengecil seiring $n \to \infty$.
• Karena osilasi dari $(-1)^{n+1}$, barisan ini bergantian antara nilai yang mendekati $+1$ (dari atas) dan $-1$ (dari bawah).

1. Limit Superior ($\limsup a_n$):

$\limsup$ adalah limit supremum dari barisan, yaitu: $\limsup a_n = \lim_{n \to \infty} \sup_{k \geq n} a_k$ Karena bagian osilasi $(-1)^{n+1}$ berganti-ganti antara $-1$ dan $1$, nilai maksimum terjadi saat $n$ ganjil: $a_n = 1 + \frac{1}{n^2 + 1}.$ Ketika $n \to \infty$, $\frac{1}{n^2 + 1} \to 0$, sehingga: $\limsup a_n = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n^2 + 1}\right) = 1.$

2. Limit Inferior ($\liminf a_n$):

$\liminf$ adalah limit infimum dari barisan, yaitu: $\liminf a_n = \lim_{n \to \infty} \inf_{k \geq n} a_k$ Nilai minimum terjadi saat $n$ genap: $a_n = -1 + \frac{1}{n^2 + 1}.$ Ketika $n \to \infty$, $\frac{1}{n^2 + 1} \to 0$, sehingga: $\liminf a_n = \lim_{n \to \infty} \left(-1 + \frac{1}{n^2 + 1}\right) = -1.$

Kesimpulan:

$\limsup a_n = 1, \quad \liminf a_n = -1.$

Jika ada pertanyaan atau ingin detail lebih lanjut, silakan tanyakan!

---

5 Pertanyaan Terkait:

1. Apa definisi formal dari limit superior dan limit inferior?
2. Bagaimana cara menentukan limit dari barisan non-osilasi?
3. Apa hubungan antara $\limsup$, $\liminf$, dan keberadaan limit biasa ($\lim a_n$)?
4. Bagaimana sifat barisan dengan osilasi seperti $(-1)^n$?
5. Apa peran bagian konvergen seperti $\frac{1}{n^2 + 1}$ dalam menentukan $\limsup$ dan $\liminf$?

Tip:

Untuk menentukan $\limsup$ dan $\liminf$, fokuslah pada nilai maksimum dan minimum dari subsekuens yang relevan.