Дано:

• $b_3 = 180$ (третий член геометрической прогрессии),
• $q = 6$ (общий множитель прогрессии).

Нужно найти сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии.

Шаг 1: Найдём первый член прогрессии.

Из формулы для общего члена геометрической прогрессии:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Здесь $b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$.

Подставим $b_3 = 180$ и $q = 6$:

$180 = b_1 \cdot 6^2$

$180 = b_1 \cdot 36$

$b_1 = \frac{180}{36} = 5$

Так что первый член прогрессии $b_1 = 5$.

Шаг 2: Найдём сумму первых четырёх членов.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad \text{(если q \neq 1)}

Для первых четырёх членов прогрессии ($n = 4$):

$S_4 = 5 \cdot \frac{1 - 6^4}{1 - 6}$

Посчитаем $6^4$:

$6^4 = 1296$

Теперь подставим в формулу для суммы:

$S_4 = 5 \cdot \frac{1 - 1296}{1 - 6} = 5 \cdot \frac{-1295}{-5} = 5 \cdot 259 = 1295$

Таким образом, сумма первых четырёх членов геометрической прогрессии равна $S_4 = 1295$.

---

Хотите узнать больше о геометрических прогрессиях или есть другие вопросы? Вот 5 дополнительных вопросов:

1. Как найти любой $n$-й член геометрической прогрессии, если известны первые два члена?
2. Как вычислить сумму бесконечной геометрической прогрессии, если $|q| < 1$?
3. Как происходит изменение суммы прогрессии при увеличении количества её членов?
4. Как влияет изменение знаменателя прогрессии $q$ на сумму первых нескольких членов?
5. Какие свойства геометрической прогрессии можно использовать для решения задач в реальной жизни (например, в финансах)?

Совет: Чтобы лучше понять геометрическую прогрессию, важно экспериментировать с разными значениями $b_1$ и $q$, чтобы увидеть, как они влияют на поведение прогрессии и её сумму.