Tegul geometrinės progresijos pirmasis narys yra $a$, o bendrasis vardiklis – $q$.

Pagal užduotį, mes žinome šias sąlygas:

1. Vardiklis yra keturis kartus didesnis už pirmąjį narį:
   $q = 4a$

2. Narių suma yra lygi $6$. Geometrinės progresijos narių suma gali būti apskaičiuojama pagal formulę: S_n = \frac{a(1 - q^n)}{1 - q} \quad \text{(kai q \neq 1)} Kadangi nėra nurodyta, kiek narių sudaro progresiją, manome, kad narių suma yra begalinė ir naudojame šią formulę (be galo daug narių, kai $|q| < 1$): $S_\infty = \frac{a}{1 - q}$ ir pagal užduotį, šis suma yra lygi $6$: $\frac{a}{1 - q} = 6$

Dabar išspręsime šį uždavinį.

Pirmiausia išreiškiame $q$ pagal $a$ ir pakeičiame į antrąją formulę: $q = 4a$ $\frac{a}{1 - 4a} = 6$

Dabar išspręsime lygtį:

1. Panaikiname vardiklį ir gauname: $a = 6(1 - 4a)$
2. Išplėšiame skliaustus: $a = 6 - 24a$
3. Perkeliame visus $a$ į vieną pusę: $a + 24a = 6$ $25a = 6$
4. Apskaičiuojame $a$: $a = \frac{6}{25}$

Taigi, pirmasis progresijos narys yra $\frac{6}{25}$.

---

Jei reikia daugiau detalių ar paaiškinimų, drąsiai klausk!
Klausimai, kurie gali būti susiję:

1. Koks yra geometrinės progresijos sumos formulės pritaikymas riboto narių skaičiaus atveju?
2. Kaip veikia geometrinė progresija su $q > 1$?
3. Kaip spręsti uždavinius, kai geometrinė progresija turi ribotą narių skaičių?
4. Kas atsitinka, jei $|q| \geq 1$ ir norime apskaičiuoti begalinės progresijos sumą?
5. Kokia yra geometrinės progresijos konvergencija ir kada suma tampa ribota?

Tipas: Jei geometrinė progresija turi begalinį narių skaičių, svarbu, kad vardiklis $q$ būtų mažesnis už 1 (t.y., $|q| < 1$), kad suma būtų galutinė ir konverguotų.