dua buah vektor besarnya sama. tentukan sudut apit antara kedua vektor tersebut agar hasil bagi antara selisih dan resultannya sama dengan √3

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita akan menggunakan konsep vektor dan trigonometri.

Misalkan dua vektor yang besarnya sama adalah \(\mathbf{A}\) dan \(\mathbf{B}\), dengan besar \( |\mathbf{A}| = |\mathbf{B}| = A \).

1. **Selisih Vektor**: Besar selisih kedua vektor tersebut adalah:
   \[
   |\mathbf{A} - \mathbf{B}| = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB\cos\theta}
   \]
   Karena \( |\mathbf{A}| = |\mathbf{B}| = A \), maka:
   \[
   |\mathbf{A} - \mathbf{B}| = \sqrt{2A^2(1 - \cos\theta)}
   \]
   \[
   |\mathbf{A} - \mathbf{B}| = A\sqrt{2(1 - \cos\theta)}
   \]

2. **Resultan Vektor**: Besar resultan kedua vektor tersebut adalah:
   \[
   |\mathbf{A} + \mathbf{B}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB\cos\theta}
   \]
   Dengan \( |\mathbf{A}| = |\mathbf{B}| = A \), maka:
   \[
   |\mathbf{A} + \mathbf{B}| = A\sqrt{2(1 + \cos\theta)}
   \]

3. **Hasil Bagi**: Menurut soal, hasil bagi antara selisih dan resultannya sama dengan \(\sqrt{3}\), sehingga:
   \[
   \frac{|\mathbf{A} - \mathbf{B}|}{|\mathbf{A} + \mathbf{B}|} = \sqrt{3}
   \]
   Substitusi nilai yang sudah kita dapatkan:
   \[
   \frac{A\sqrt{2(1 - \cos\theta)}}{A\sqrt{2(1 + \cos\theta)}} = \sqrt{3}
   \]
   Sederhanakan:
   \[
   \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}} = \sqrt{3}
   \]
   Kuadratkan kedua sisi:
   \[
   \frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta} = 3
   \]
   Kalikan silang:
   \[
   1 - \cos\theta = 3(1 + \cos\theta)
   \]
   \[
   1 - \cos\theta = 3 + 3\cos\theta
   \]
   Gabungkan yang mengandung \(\cos\theta\) di satu sisi:
   \[
   1 - 3 = 4\cos\theta
   \]
   \[
   -2 = 4\cos\theta
   \]
   \[
   \cos\theta = -\frac{1}{2}
   \]

4. **Sudut Apit**: Dari hasil ini, sudut apit \(\theta\) yang memenuhi adalah:
   \[
   \theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)
   \]
   Sudut ini adalah \( \theta = 120^\circ \).

Jadi, sudut apit antara kedua vektor tersebut adalah \( 120^\circ \).

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut? Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menentukan resultan dua vektor dengan sudut yang berbeda?
2. Apa hubungan antara besar vektor dan arah vektor dalam menentukan sudut apit?
3. Bagaimana cara menghitung sudut antara dua vektor jika hasil bagi selisih dan resultan berbeda dari \(\sqrt{3}\)?
4. Bagaimana jika salah satu vektor lebih besar dari yang lain? Apakah hasilnya akan berbeda?
5. Apa peran hukum kosinus dalam perhitungan vektor?

**Tip:** Dalam masalah trigonometri, seringkali penting untuk menggunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan perhitungan.

Pelajari cara menentukan sudut apit antara dua vektor yang besarnya sama agar hasil bagi antara selisih dan resultannya sama dengan √3. Solusi mencakup konsep vektor, trigonometri, dan hukum kosinus.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation