Diketahui kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 8cm. Tentukan cosinus sudut antara bidang AFH dan bidang CFH

Untuk menentukan kosinus sudut antara bidang \( AFH \) dan bidang \( CFH \), kita dapat menggunakan konsep vektor normal pada bidang-bidang tersebut. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

### 1. Identifikasi Titik-titik dan Bidang
- Kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 8 cm.
- Titik \( A \), \( F \), \( H \), dan \( C \) berada pada sudut-sudut kubus.

Misalkan posisi koordinat titik-titik tersebut adalah:
- \( A = (0, 0, 0) \)
- \( F = (8, 0, 8) \)
- \( H = (8, 8, 8) \)
- \( C = (8, 0, 0) \)

### 2. Vektor-vektor pada Bidang
- Untuk bidang \( AFH \), kita ambil vektor \( \overrightarrow{AF} \) dan \( \overrightarrow{AH} \):
  - \( \overrightarrow{AF} = F - A = (8, 0, 8) \)
  - \( \overrightarrow{AH} = H - A = (8, 8, 8) \)
  
  Vektor normal \( \mathbf{n}_1 \) pada bidang \( AFH \) adalah hasil cross product dari \( \overrightarrow{AF} \) dan \( \overrightarrow{AH} \):
  \[
  \mathbf{n}_1 = \overrightarrow{AF} \times \overrightarrow{AH}
  \]

- Untuk bidang \( CFH \), kita ambil vektor \( \overrightarrow{CF} \) dan \( \overrightarrow{CH} \):
  - \( \overrightarrow{CF} = F - C = (0, 0, 8) \)
  - \( \overrightarrow{CH} = H - C = (0, 8, 8) \)
  
  Vektor normal \( \mathbf{n}_2 \) pada bidang \( CFH \) adalah hasil cross product dari \( \overrightarrow{CF} \) dan \( \overrightarrow{CH} \):
  \[
  \mathbf{n}_2 = \overrightarrow{CF} \times \overrightarrow{CH}
  \]

### 3. Hitung Cross Product
Sekarang kita hitung cross product dari vektor-vektor tersebut untuk mendapatkan vektor normal dari masing-masing bidang.

#### a) Cross product \( \overrightarrow{AF} \times \overrightarrow{AH} \):
\[
\mathbf{n}_1 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 8 & 0 & 8 \\ 8 & 8 & 8 \end{vmatrix}
= (0 \cdot 8 - 8 \cdot 8) \mathbf{i} - (8 \cdot 8 - 8 \cdot 8) \mathbf{j} + (8 \cdot 8 - 0 \cdot 8) \mathbf{k}
= (-64) \mathbf{i} + 0 \mathbf{j} + 64 \mathbf{k}
\]
\[
\mathbf{n}_1 = (-64, 0, 64)
\]

#### b) Cross product \( \overrightarrow{CF} \times \overrightarrow{CH} \):
\[
\mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 8 \\ 0 & 8 & 8 \end{vmatrix}
= (0 \cdot 8 - 0 \cdot 8) \mathbf{i} - (0 \cdot 8 - 8 \cdot 8) \mathbf{j} + (0 \cdot 8 - 0 \cdot 0) \mathbf{k}
= (0) \mathbf{i} - (-64) \mathbf{j} + 0 \mathbf{k}
\]
\[
\mathbf{n}_2 = (0, 64, 0)
\]

### 4. Hitung Cosinus Sudut
Cosinus sudut antara dua bidang adalah cosinus sudut antara vektor normal bidang tersebut. Kita gunakan rumus dot product:
\[
\cos \theta = \frac{\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2}{|\mathbf{n}_1| |\mathbf{n}_2|}
\]
Dengan:
\[
\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = (-64 \cdot 0) + (0 \cdot 64) + (64 \cdot 0) = 0
\]
\[
|\mathbf{n}_1| = \sqrt{(-64)^2 + 0^2 + 64^2} = \sqrt{4096 + 4096} = \sqrt{8192} = 64\sqrt{2}
\]
\[
|\mathbf{n}_2| = \sqrt{0^2 + 64^2 + 0^2} = 64
\]
Sehingga:
\[
\cos \theta = \frac{0}{64\sqrt{2} \cdot 64} = 0
\]

### Kesimpulan:
Karena \( \cos \theta = 0 \), maka sudut antara bidang \( AFH \) dan \( CFH \) adalah **90 derajat**.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci atau memiliki pertanyaan lain? Berikut 5 pertanyaan terkait untuk memperluas pemahaman:

1. Bagaimana menentukan vektor normal dari bidang dalam ruang tiga dimensi?
2. Apa arti dari cross product (perkalian silang) dalam konteks geometri?
3. Bagaimana cara menghitung sudut antara dua bidang dengan vektor normal yang tidak tegak lurus?
4. Apakah mungkin untuk menghitung sudut antara bidang tanpa menggunakan koordinat kartesian?
5. Bagaimana konsep ini diterapkan dalam fisika atau arsitektur?

**Tip:** Cross product dari dua vektor menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor tersebut.

Diketahui kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 8cm. Tentukan cosinus sudut antara bidang AFH dan bidang CFH.

Pelajari cara menentukan cosinus sudut antara bidang AFH dan CFH pada kubus dengan panjang rusuk 8 cm. Menggunakan konsep vektor, cross product, dan dot product untuk menghitung sudut antara dua bidang. Cocok untuk siswa kelas 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation