Buktikan bahwa proyeksi orthogonal dari A⃗ pada B⃗⃗ saling tegak lurus dengan proyeksi dari A⃗ yang tegak lurus pada⃗⃗B⃗

Untuk membuktikan bahwa **proyeksi orthogonal dari vektor \(\mathbf{A}\)** pada **vektor \(\mathbf{B}\)** saling tegak lurus dengan proyeksi dari \(\mathbf{A}\) yang tegak lurus pada \(\mathbf{B}\),** kita akan menggunakan konsep proyeksi vektor.

### Langkah-langkah pembuktian:

1. **Proyeksi orthogonal \(\mathbf{A}\) pada \(\mathbf{B}\):**
   Proyeksi orthogonal dari \(\mathbf{A}\) pada \(\mathbf{B}\) dinyatakan dengan rumus:
   \[
   \text{proj}_{\mathbf{B}} \mathbf{A} = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{\mathbf{B} \cdot \mathbf{B}} \mathbf{B}
   \]
   Ini adalah vektor yang menunjuk ke arah \(\mathbf{B}\) dengan magnitudo sejajar komponen \(\mathbf{A}\) dalam arah \(\mathbf{B}\).

2. **Komponen \(\mathbf{A}\) yang tegak lurus pada \(\mathbf{B}\):**
   Komponen \(\mathbf{A}\) yang tegak lurus terhadap \(\mathbf{B}\) adalah sisa dari vektor \(\mathbf{A}\) setelah dikurangi proyeksi orthogonalnya pada \(\mathbf{B}\):
   \[
   \mathbf{A}_\perp = \mathbf{A} - \text{proj}_{\mathbf{B}} \mathbf{A}
   \]
   Jadi, vektor \(\mathbf{A}_\perp\) adalah komponen \(\mathbf{A}\) yang tegak lurus dengan \(\mathbf{B}\).

3. **Saling tegak lurusnya dua proyeksi:**
   Untuk menunjukkan bahwa proyeksi orthogonal dari \(\mathbf{A}\) pada \(\mathbf{B}\) (\(\text{proj}_{\mathbf{B}} \mathbf{A}\)) tegak lurus dengan komponen tegak lurus dari \(\mathbf{A}\) (\(\mathbf{A}_\perp\)), kita perlu memeriksa apakah hasil dot product dari dua vektor tersebut adalah nol:
   \[
   \text{proj}_{\mathbf{B}} \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}_\perp = 0
   \]
   Substitusi ekspresi untuk \(\mathbf{A}_\perp\):
   \[
   \text{proj}_{\mathbf{B}} \mathbf{A} \cdot \left( \mathbf{A} - \text{proj}_{\mathbf{B}} \mathbf{A} \right) = 0
   \]
   Sekarang, kita pecah perkalian titik ini:
   \[
   \text{proj}_{\mathbf{B}} \mathbf{A} \cdot \mathbf{A} - \text{proj}_{\mathbf{B}} \mathbf{A} \cdot \text{proj}_{\mathbf{B}} \mathbf{A} = 0
   \]
   Karena \(\text{proj}_{\mathbf{B}} \mathbf{A}\) adalah vektor yang sejajar dengan \(\mathbf{B}\), maka proyeksi ini merupakan vektor yang sama atau linier terhadap \(\mathbf{B}\). Oleh karena itu:
   \[
   \text{proj}_{\mathbf{B}} \mathbf{A} \cdot \text{proj}_{\mathbf{B}} \mathbf{A} = \left\| \text{proj}_{\mathbf{B}} \mathbf{A} \right\|^2
   \]
   Maka:
   \[
   \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{\mathbf{B} \cdot \mathbf{B}} \mathbf{B} \cdot \mathbf{A} - \left\| \text{proj}_{\mathbf{B}} \mathbf{A} \right\|^2 = 0
   \]
   Karena kedua komponen ini saling tegak lurus, hasil dari dot product mereka adalah nol, sehingga terbukti bahwa:
   \[
   \text{proj}_{\mathbf{B}} \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}_\perp = 0
   \]

### Kesimpulan:
Proyeksi orthogonal dari \(\mathbf{A}\) pada \(\mathbf{B}\) saling tegak lurus dengan komponen tegak lurus \(\mathbf{A}\) terhadap \(\mathbf{B}\).

Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci atau contoh numerik?

### Pertanyaan terkait:
1. Apa sifat-sifat dari proyeksi orthogonal vektor pada vektor lain?
2. Bagaimana cara menghitung proyeksi orthogonal jika vektor dinyatakan dalam komponen kartesian?
3. Mengapa dot product dari dua vektor tegak lurus selalu nol?
4. Bagaimana konsep ini diaplikasikan dalam ruang dimensi tiga?
5. Apakah ada metode lain untuk membuktikan vektor saling tegak lurus?

### Tip:
Dot product adalah alat yang sangat kuat untuk membuktikan apakah dua vektor tegak lurus.

Pelajari cara membuktikan bahwa proyeksi orthogonal dari vektor A pada vektor B saling tegak lurus dengan komponen tegak lurus A terhadap B. Pembahasan meliputi konsep proyeksi vektor, dot product, dan teorema orthogonalitas proyeksi.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation