Himpunan penyelesaian dari persamaan 2 - 2cos^2 x = sin x untuk 0 deg < x <= 180 deg adalah

Kita diberikan persamaan:

\[
2 - 2\cos^2(x) = \sin(x)
\]

Untuk menyelesaikannya, kita akan melalui beberapa langkah:

### Langkah 1: Sederhanakan persamaan
Mulai dengan memindahkan semua suku ke satu sisi persamaan:

\[
2 - 2\cos^2(x) - \sin(x) = 0
\]

Gunakan identitas trigonometri dasar, yaitu:

\[
\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)
\]

Maka substitusi \(\cos^2(x)\) ke dalam persamaan:

\[
2 - 2(1 - \sin^2(x)) - \sin(x) = 0
\]

\[
2 - 2 + 2\sin^2(x) - \sin(x) = 0
\]

Hasilnya menjadi:

\[
2\sin^2(x) - \sin(x) = 0
\]

### Langkah 2: Faktorkan persamaan
Faktor dari persamaan tersebut adalah:

\[
\sin(x)(2\sin(x) - 1) = 0
\]

Dari sini, kita mendapatkan dua kemungkinan solusi:

1. \(\sin(x) = 0\)
2. \(2\sin(x) - 1 = 0\)

### Langkah 3: Temukan solusi untuk masing-masing kasus
#### Kasus 1: \(\sin(x) = 0\)
Untuk rentang \(0^\circ < x \leq 180^\circ\), \(\sin(x) = 0\) terjadi pada:

\[
x = 0^\circ \quad (\text{Tapi ini tidak termasuk karena syarat } x > 0^\circ)
\]

Jadi, tidak ada solusi dari kasus ini dalam rentang yang diberikan.

#### Kasus 2: \(2\sin(x) - 1 = 0\)
Dari persamaan ini, kita dapatkan:

\[
\sin(x) = \frac{1}{2}
\]

Untuk rentang \(0^\circ < x \leq 180^\circ\), nilai \(\sin(x) = \frac{1}{2}\) terjadi pada:

\[
x = 30^\circ \quad \text{dan} \quad x = 150^\circ
\]

### Himpunan Penyelesaian
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan \(2 - 2\cos^2(x) = \sin(x)\) dalam rentang \(0^\circ < x \leq 180^\circ\) adalah:

\[
x = \{30^\circ, 150^\circ\}
\]

Apakah Anda ingin detail lebih lanjut atau ada pertanyaan?

---

**5 Pertanyaan terkait:**

1. Bagaimana cara menggunakan identitas trigonometri lain untuk menyelesaikan persamaan trigonometri?
2. Apa yang terjadi jika rentang nilai \(x\) diperluas di luar \(0^\circ < x \leq 180^\circ\)?
3. Bagaimana cara memeriksa solusi trigonometri menggunakan grafik fungsi sinus dan cosinus?
4. Apa hubungan antara sudut dan nilai fungsi sinus di kuadran kedua?
5. Bagaimana jika persamaan melibatkan fungsi trigonometri lain seperti \(\tan(x)\)?

**Tip:** Ketika menyelesaikan persamaan trigonometri, sering kali bermanfaat untuk menggunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan ekspresi yang lebih rumit.

Discover how to solve the trigonometric equation 2 - 2cos^2(x) = sin(x) within the range 0° < x ≤ 180°. Learn the key steps, including using trigonometric identities and factoring techniques. This guide is ideal for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation